Номер 707, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 707, страница 157.

707. Теплоход отправился от пристани A до пристани B, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на $\frac{1}{2}$ ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.

Для решения задачи составим уравнение, основываясь на условии, что теплоход прибыл в пункт назначения вовремя. Это означает, что запланированное время в пути равно фактическому времени в пути.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость теплохода.

Общее расстояние между пристанями А и В составляет $S = 225$ км.

1. Запланированное время в пути.
Если бы теплоход двигался с постоянной первоначальной скоростью $v$ без остановок, время в пути составило бы:$t_{план} = \frac{S}{v} = \frac{225}{v}$ ч.

2. Фактическое время в пути.
Путь теплохода можно разделить на три части:
а) Движение до остановки: - Время движения: $t_1 = 1.5$ ч. - Скорость: $v$ км/ч. - Пройденное расстояние: $S_1 = v \cdot t_1 = 1.5v$ км.
б) Остановка: - Время остановки: $t_{ост} = \frac{1}{2} = 0.5$ ч.
в) Движение после остановки: - Оставшееся расстояние: $S_2 = S - S_1 = 225 - 1.5v$ км. - Новая скорость: $v_{новая} = v + 10$ км/ч. - Время движения на этом участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{225 - 1.5v}{v+10}$ ч.

Общее фактическое время в пути складывается из времени движения и времени остановки:$t_{факт} = t_1 + t_{ост} + t_2 = 1.5 + 0.5 + \frac{225 - 1.5v}{v+10} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v+10}$ ч.

3. Составление и решение уравнения.
Так как теплоход прибыл вовремя, приравниваем запланированное и фактическое время:$t_{план} = t_{факт}$$\frac{225}{v} = 2 + \frac{225 - 1.5v}{v+10}$

Перенесем дробь из правой части в левую:$\frac{225}{v} - \frac{225 - 1.5v}{v+10} = 2$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v+10)$:$\frac{225(v+10) - v(225 - 1.5v)}{v(v+10)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{225v + 2250 - 225v + 1.5v^2}{v(v+10)} = 2$$\frac{1.5v^2 + 2250}{v^2 + 10v} = 2$

Умножим обе части уравнения на $v^2 + 10v$ (при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$, что выполняется для скорости):$1.5v^2 + 2250 = 2(v^2 + 10v)$$1.5v^2 + 2250 = 2v^2 + 20v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$2v^2 - 1.5v^2 + 20v - 2250 = 0$$0.5v^2 + 20v - 2250 = 0$

Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$v^2 + 40v - 4500 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 1600 + 18000 = 19600$$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 140}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 140}{2 \cdot 1} = \frac{-180}{2} = -90$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость теплохода составляет 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.