Номер 706, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 706, страница 157.

706. Через $2 \text{ ч } 40 \text{ мин}$ после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в $27 \text{ км}$ от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде $12 \text{ км/ч}$ и расстояние от А до В равно $44 \text{ км}$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость течения реки, которая равна скорости плота, составляет $x$ км/ч.

1. Движение катера

Катер движется от пристани B навстречу плоту, то есть против течения реки. Его собственная скорость равна 12 км/ч. Следовательно, скорость катера против течения составляет $(12 - x)$ км/ч. По условию, катер прошел 27 км до места встречи. Время, которое катер затратил на этот путь, равно: $t_{катера} = \frac{S}{v} = \frac{27}{12 - x}$ часов.

2. Движение плота

Плот движется от пристани А вниз по течению со скоростью течения, то есть $x$ км/ч. Общее расстояние между пристанями А и В составляет 44 км. Поскольку встреча произошла в 27 км от В, плот проплыл расстояние: $S_{плота} = 44 - 27 = 17$ км. Время, которое плот был в пути до встречи, равно: $t_{плота} = \frac{S}{v} = \frac{17}{x}$ часов.

3. Составление и решение уравнения

Из условия известно, что катер отправился через 2 ч 40 мин после плота. Это означает, что плот был в пути на 2 ч 40 мин дольше, чем катер. Переведем это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{8}{3}$ часа. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв время движения с учетом разницы: $t_{плота} = t_{катера} + \frac{8}{3}$
$\frac{17}{x} = \frac{27}{12 - x} + \frac{8}{3}$
Перенесем все члены в одну часть, чтобы решить уравнение: $\frac{17}{x} - \frac{27}{12 - x} - \frac{8}{3} = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $3x(12 - x)$. Ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq 12$.
$\frac{17 \cdot 3(12 - x) - 27 \cdot 3x - 8 \cdot x(12 - x)}{3x(12 - x)} = 0$
Решаем уравнение для числителя: $51(12 - x) - 81x - 8x(12 - x) = 0$
$612 - 51x - 81x - 96x + 8x^2 = 0$
Приводим подобные слагаемые и записываем квадратное уравнение: $8x^2 - 228x + 612 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 4: $2x^2 - 57x + 153 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 153 = 3249 - 1224 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 45}{2 \cdot 2} = \frac{102}{4} = 25.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 45}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

4. Анализ полученных корней

Мы получили два положительных корня. Проверим их на соответствие условиям задачи. Скорость течения реки $x$ не может быть больше собственной скорости катера (12 км/ч), иначе катер не смог бы плыть против течения. Корень $x_1 = 25.5$ км/ч не подходит, так как $25.5 > 12$. Корень $x_2 = 3$ км/ч удовлетворяет этому условию ($3 < 12$). Следовательно, скорость течения реки и, соответственно, скорость плота равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.