Номер 701, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 701, страница 157.

701. Расстояние от A до B, равное 400 км, поезд прошёл с некоторой постоянной скоростью; $ \frac{2}{5} $ обратного пути из B в А он шёл с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч. Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю дорогу было затрачено 11 ч.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ (км/ч) — начальная постоянная скорость поезда. Тогда скорость поезда на последнем участке пути равна $(v-20)$ км/ч. Общее расстояние от А до В составляет 400 км.

Весь путь можно разделить на три участка:

1. Путь из А в В.
2. Часть обратного пути из В в А с начальной скоростью.
3. Оставшаяся часть обратного пути из В в А с уменьшенной скоростью.

Рассчитаем время, затраченное на каждый из этих участков.

1. Время, затраченное на путь из А в В (расстояние 400 км, скорость $v$ км/ч):
$t_1 = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ ч.

2. На обратном пути поезд сначала прошел $\frac{2}{5}$ всего расстояния с той же скоростью. Найдем это расстояние:
$S_{обр1} = \frac{2}{5} \cdot 400 = 160$ км.
Время, затраченное на этот участок (расстояние 160 км, скорость $v$ км/ч):
$t_2 = \frac{160}{v}$ ч.

3. Оставшееся расстояние на обратном пути:
$S_{обр2} = 400 - 160 = 240$ км.
Скорость на этом участке была уменьшена на 20 км/ч, то есть стала $(v-20)$ км/ч. Время, затраченное на этот участок:
$t_3 = \frac{240}{v-20}$ ч.
При этом должно выполняться условие $v > 20$, так как скорость не может быть отрицательной.

Общее время, затраченное на всю дорогу, равно 11 часов. Составим уравнение, сложив время всех трех участков:
$t_1 + t_2 + t_3 = 11$
$\frac{400}{v} + \frac{160}{v} + \frac{240}{v-20} = 11$

Теперь решим это уравнение:
$\frac{560}{v} + \frac{240}{v-20} = 11$
Приведем дроби к общему знаменателю $v(v-20)$:
$\frac{560(v-20) + 240v}{v(v-20)} = 11$
$560(v-20) + 240v = 11v(v-20)$
$560v - 11200 + 240v = 11v^2 - 220v$
$800v - 11200 = 11v^2 - 220v$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$11v^2 - 220v - 800v + 11200 = 0$
$11v^2 - 1020v + 11200 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ :
$D = (-1020)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 11200 = 1040400 - 492800 = 547600$
$\sqrt{D} = \sqrt{547600} = 740$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 + 740}{2 \cdot 11} = \frac{1760}{22} = 80$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1020 - 740}{2 \cdot 11} = \frac{280}{22} = \frac{140}{11} \approx 12.73$

Проверим корни на соответствие условию $v > 20$.
Корень $v_1 = 80$ удовлетворяет условию $80 > 20$.
Корень $v_2 = \frac{140}{11}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{140}{11} < 20$. Этот корень является посторонним.
Следовательно, начальная скорость поезда была $v = 80$ км/ч.

Вопрос задачи — найти скорость поезда на последнем участке. Эта скорость равна $(v-20)$ км/ч.
$80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.