Номер 700, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 700, страница 156.

700. Автомобиль прошёл с некоторой постоянной скоростью путь от $A$ до $B$ длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошёл половину пути с той же скоростью, а затем увеличил её на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ ч меньше, чем на путь от $A$ до $B$. С какой скоростью шёл автомобиль из $A$ в $B$?

Пусть $v$ км/ч — первоначальная постоянная скорость автомобиля, с которой он шёл из пункта А в пункт В. Расстояние между пунктами А и В равно $240$ км.

Время, затраченное на путь из А в В, можно выразить формулой: $t_{АВ} = \frac{S}{v} = \frac{240}{v}$ ч.

На обратном пути автомобиль прошёл половину пути, то есть $240 / 2 = 120$ км, с той же скоростью $v$. Время, затраченное на этот участок, составляет $t_1 = \frac{120}{v}$ ч.

Вторую половину пути, также равную $120$ км, автомобиль прошёл со скоростью, увеличенной на $10$ км/ч, то есть $v + 10$ км/ч. Время на этом участке пути: $t_2 = \frac{120}{v+10}$ ч.

Общее время, затраченное на обратный путь, равно сумме времён на двух участках: $t_{ВА} = t_1 + t_2 = \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на $\frac{2}{5}$ часа меньше, чем на путь от А до В. Это означает, что разница во времени составляет $\frac{2}{5}$ ч. Составим уравнение:

$t_{АВ} - t_{ВА} = \frac{2}{5}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{240}{v} - \left( \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10} \right) = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения:

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$:

$\frac{120(v+10) - 120v}{v(v+10)} = \frac{2}{5}$

$\frac{120v + 1200 - 120v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1200}{v^2 + 10v} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):

$2 \cdot (v^2 + 10v) = 1200 \cdot 5$

$2v^2 + 20v = 6000$

Перенесём все члены в левую часть и разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

$2v^2 + 20v - 6000 = 0 \quad | :2$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдём корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 110}{2}$

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, искомая скорость равна $50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.