Номер 702, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 702, страница 157.

702. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение на основе данных о времени движения.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.
Собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде) по условию равна 12 км/ч.

Когда лодка движется вверх по реке (против течения), ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (12 - x)$ км/ч.
Расстояние, которое турист проехал вверх по реке, составляет 25 км.
Время, затраченное на путь вверх по реке, вычисляется по формуле $t = S/v$:
$t_{лодки} = \frac{25}{12 - x}$ часов.

На обратном пути турист спускался на плоту. Скорость плота в реке равна скорости течения реки, то есть $x$ км/ч.
Расстояние то же самое — 25 км.
Время, затраченное на путь на плоту, равно:
$t_{плота} = \frac{25}{x}$ часов.

По условию, в лодке турист плыл на 10 часов меньше, чем на плоту. Это можно записать в виде уравнения:
$t_{плота} - t_{лодки} = 10$

Подставим выражения для времени в это уравнение:
$\frac{25}{x} - \frac{25}{12 - x} = 10$

Для решения этого рационального уравнения необходимо учесть область допустимых значений. Скорость течения $x$ должна быть положительной ($x > 0$). Также скорость лодки против течения должна быть положительной, чтобы она могла двигаться вверх по реке, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, $0 < x < 12$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(12 - x)$:
$\frac{25(12 - x) - 25x}{x(12 - x)} = 10$
$\frac{300 - 25x - 25x}{12x - x^2} = 10$
$\frac{300 - 50x}{12x - x^2} = 10$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $12x - x^2$:
$300 - 50x = 10(12x - x^2)$
$300 - 50x = 120x - 10x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$10x^2 - 120x - 50x + 300 = 0$
$10x^2 - 170x + 300 = 0$

Разделим все уравнение на 10 для упрощения:
$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 17, а их произведение равно 30. Легко подобрать корни:
$x_1 = 15$
$x_2 = 2$

Проверим найденные корни на соответствие области допустимых значений ($0 < x < 12$).
Корень $x_1 = 15$ не подходит, так как $15 > 12$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости течения лодка не смогла бы двигаться против него.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $0 < 2 < 12$.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.