Номер 695, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 695, страница 155.

695. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2}; $

б) $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2}. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $x\sqrt{3} - \sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{3} \neq \sqrt{2} \implies x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies x \neq \frac{\sqrt{6}}{3}$.
2. $x\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{3} \neq -\sqrt{2} \implies x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies x \neq -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
3. $3x^2 - 2 \neq 0 \implies 3x^2 \neq 2 \implies x^2 \neq \frac{2}{3} \implies x \neq \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \implies x \neq \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Теперь упростим левую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем: $(x\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3x^2 - 2$.
Преобразуем левую часть:
$ \frac{(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(3x^2 + 2x\sqrt{6} + 2) + (3x^2 - 2x\sqrt{6} + 2)}{3x^2 - 2} = \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} $.
Можно было также использовать формулу $(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$, где $a=x\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$: $2((x\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2) = 2(3x^2+2) = 6x^2+4$.
Теперь наше уравнение выглядит так:
$ \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Поскольку знаменатели одинаковы и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 6x^2 + 4 = 10x $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $
$ x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5+1}{6} = 1 $
$ x_{2} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Оба найденных корня, $1$ и $\frac{2}{3}$, входят в область допустимых значений.
Ответ: $1; \frac{2}{3}$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$.
1. $1 + y\sqrt{5} \neq 0 \implies y\sqrt{5} \neq -1 \implies y \neq -\frac{1}{\sqrt{5}} \implies y \neq -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
2. $1 - y\sqrt{5} \neq 0 \implies y\sqrt{5} \neq 1 \implies y \neq \frac{1}{\sqrt{5}} \implies y \neq \frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. $1 - 5y^2 \neq 0 \implies 5y^2 \neq 1 \implies y^2 \neq \frac{1}{5} \implies y \neq \pm\sqrt{\frac{1}{5}} \implies y \neq \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
ОДЗ: $y \neq \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(1 + y\sqrt{5})(1 - y\sqrt{5}) = 1^2 - (y\sqrt{5})^2 = 1 - 5y^2$.
Преобразуем числитель левой части:
$ (1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2 $
Используем формулу $(a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2)$, где $a=1$ и $b=y\sqrt{5}$:
$ 2(1^2 + (y\sqrt{5})^2) = 2(1 + 5y^2) = 2 + 10y^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{2 + 10y^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Приравниваем числители:
$ 2 + 10y^2 = 9y $
$ 10y^2 - 9y + 2 = 0 $
Решаем квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:
$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1 $
$ y_{1} = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9+1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $
$ y_{2} = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9-1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $
Оба корня, $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$, удовлетворяют ОДЗ, так как $\frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447$, а наши корни равны $0.5$ и $0.4$.
Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{5}$.