Номер 692, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 692, страница 155.

692. При каком значении x:

a) значение функции $y = \frac{5x-7}{x^2+1}$ равно -6; 0; 0,8; 0,56;

б) значение функции $y = \frac{x^2-2x+6}{x+4}$ равно 1,5; 3; 7?

а) Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \frac{5x - 7}{x^2 + 1}$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения для каждого случая.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно -6.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = -6$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 1$, который всегда положителен:

$5x - 7 = -6(x^2 + 1)$

$5x - 7 = -6x^2 - 6$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Вычисляем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 7}{12}$.

$x_1 = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что выполняется всегда для $x^2+1$):

$5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5} = 1,4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0,8.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,8$

$5x - 7 = 0,8(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,8x^2 + 0,8$

$0,8x^2 - 5x + 7,8 = 0$

Умножим все члены на 5 для удобства вычислений:

$4x^2 - 25x + 39 = 0$

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625 - 624 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{25 \pm 1}{8}$.

$x_1 = \frac{25 + 1}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3,25$

$x_2 = \frac{25 - 1}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0,56.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,56$

$5x - 7 = 0,56(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,56x^2 + 0,56$

$0,56x^2 - 5x + 7,56 = 0$

Умножим все члены на 100, а затем разделим на 4:

$56x^2 - 500x + 756 = 0 \implies 14x^2 - 125x + 189 = 0$.

$D = (-125)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 - 10584 = 5041 = 71^2$.

$x_{1,2} = \frac{125 \pm 71}{2 \cdot 14} = \frac{125 \pm 71}{28}$.

$x_1 = \frac{125 + 71}{28} = \frac{196}{28} = 7$

$x_2 = \frac{125 - 71}{28} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}$

Ответ: значение функции равно -6 при $x = -1$ или $x = \frac{1}{6}$; равно 0 при $x = 1,4$; равно 0,8 при $x = 3$ или $x = 3,25$; равно 0,56 при $x = 7$ или $x = \frac{27}{14}$.

б) Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4}$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения для каждого случая, учитывая область допустимых значений $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 1,5.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 1,5$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5x + 6$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3,5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 3.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 3$

$x^2 - 2x + 6 = 3(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 3x + 12$

$x^2 - 5x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 7.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 7$

$x^2 - 2x + 6 = 7(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 7x + 28$

$x^2 - 9x - 22 = 0$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

$x_{1,2} = \frac{9 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11$

$x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2$

Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Ответ: значение функции равно 1,5 при $x = 0$ или $x = 3,5$; равно 3 при $x = 6$ или $x = -1$; равно 7 при $x = 11$ или $x = -2$.