Номер 685, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 685, страница 154.

685. Квадрат разности корней уравнения $x^2 + px + 405 = 0$ равен 144. Найдите $p$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + px + 405 = 0$.

Согласно условию задачи, квадрат разности этих корней равен 144. Это можно записать в виде формулы:
$(x_1 - x_2)^2 = 144$.

Для нахождения коэффициента $p$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + px + 405 = 0$, коэффициенты равны $b=p$ и $c=405$. Следовательно:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = 405$

Существует тождество, которое связывает квадрат разности корней с их суммой и произведением:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам из условия и из теоремы Виета значения:
$144 = (-p)^2 - 4 \cdot 405$

Теперь решим полученное уравнение:
$144 = p^2 - 1620$
$p^2 = 144 + 1620$
$p^2 = 1764$

Чтобы найти $p$, извлечем квадратный корень из 1764:
$p = \pm\sqrt{1764}$
$p = \pm 42$

Таким образом, возможны два значения для параметра $p$.

Ответ: $p = 42$ или $p = -42$.