Номер 681, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 681, страница 154.

681. Один из корней уравнения $4x^2 + bx + c = 0$ равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите $b$ и $c$.

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, один из его корней равен $0,5$, а другой корень равен свободному члену $c$. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Таким образом, имеем: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = c$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В заданном уравнении старший коэффициент $a = 4$.

Подставим известные данные в формулу для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$0,5 \cdot c = \frac{c}{4}$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $c$:
$0,5c - \frac{c}{4} = 0$
$0,5c - 0,25c = 0$
$0,25c = 0$
Отсюда следует, что $c = 0$.

Теперь, зная, что $c = 0$, мы можем определить второй корень уравнения: $x_2 = c = 0$. Далее подставим значения корней в формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $b$:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$0,5 + 0 = -\frac{b}{4}$
$0,5 = -\frac{b}{4}$
Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -4:
$b = -4 \cdot 0,5$
$b = -2$

Мы нашли искомые коэффициенты: $b = -2$ и $c = 0$.

Ответ: $b = -2$, $c = 0$.