Номер 675, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 675, страница 154.

675. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:

a) $2x^2 - 41x + 39 = 0;$

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0.$

Докажем заданное свойство.

Рассмотрим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной $x$. Подставим в левую часть уравнения значение $x = 1$:

$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.

Так как по условию мы знаем, что $a + b + c = 0$, то при подстановке $x = 1$ мы получаем верное равенство $0 = 0$.

Это означает, что $x = 1$ действительно является одним из корней квадратного уравнения, если сумма его коэффициентов равна нулю. Что и требовалось доказать.

Теперь используем это свойство для решения уравнений.

а) $2x^2 - 41x + 39 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 2$, $b = -41$, $c = 39$.

Найдем сумму коэффициентов: $a + b + c = 2 + (-41) + 39 = 2 - 41 + 39 = -39 + 39 = 0$.

Сумма коэффициентов равна нулю, следовательно, один из корней уравнения равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения равно $\frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{39}{2}$

$x_2 = \frac{39}{2} = 19.5$

Корни уравнения: 1 и 19.5.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 19.5$.

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 17$, $b = 243$, $c = -260$.

Найдем сумму коэффициентов: $a + b + c = 17 + 243 + (-260) = 260 - 260 = 0$.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит, один из корней уравнения равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Второй корень $x_2$ найдем по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{-260}{17}$

$x_2 = -\frac{260}{17}$

Корни уравнения: 1 и $-\frac{260}{17}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{260}{17}$.