Номер 679, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 679, страница 154.

679. Квадрат разности корней уравнения $x^2 + px + 90 = 0$ равен 81.

Найдите $p$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 90 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию задачи, квадрат разности корней равен 81, то есть $(x_1 - x_2)^2 = 81$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты равны $b=p$ и $c=90$. Таким образом, по теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = 90$

Теперь преобразуем выражение для квадрата разности корней, чтобы выразить его через сумму и произведение корней. Используем известное тождество: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения:

• $(x_1 - x_2)^2 = 81$ (из условия)
• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = 90$

Получаем уравнение относительно $p$:
$81 = (-p)^2 - 4 \cdot 90$
$81 = p^2 - 360$
$p^2 = 81 + 360$
$p^2 = 441$
$p = \pm\sqrt{441}$
$p = \pm 21$

Оба значения $p$ являются решением. Убедимся, что при этих значениях $p$ уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = p^2 - 4ac$. $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 441 - 360 = 81$. Так как $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $p=21$ и $p=-21$.

Ответ: $p = 21$ или $p = -21$.