Номер 677, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 677, страница 154.

677. Один из корней уравнения $5x^2 - 12x + c = 0$ в 3 раза больше другого. Найдите $c$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 - 12x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один корень в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение: $x_1 = 3x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -12$.

Подставим известные значения и соотношение между корнями в первую формулу Виета (для суммы корней):

$x_1 + x_2 = - \frac{-12}{5}$

Заменим $x_1$ на $3x_2$:

$3x_2 + x_2 = \frac{12}{5}$

$4x_2 = \frac{12}{5}$

Отсюда найдем значение одного из корней, $x_2$:

$x_2 = \frac{12}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5}$

Теперь найдем второй корень $x_1$:

$x_1 = 3x_2 = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь, зная оба корня, мы можем использовать вторую формулу Виета (для произведения корней), чтобы найти коэффициент $c$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим найденные значения корней и известный коэффициент $a$:

$\frac{9}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{c}{5}$

$\frac{27}{25} = \frac{c}{5}$

Выразим $c$ из этого уравнения:

$c = \frac{27}{25} \cdot 5 = \frac{27}{5}$

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$c = 5.4$

Ответ: $c = 5.4$