Страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

674. Докажите, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ при любых значениях $a$ не имеет положительных корней.

Для доказательства того, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ не имеет положительных корней при любых значениях $a$, рассмотрим левую часть уравнения. Обозначим ее как функцию $f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1$. Наша задача — показать, что $f(x) \ne 0$ для любого $x > 0$.

Предположим, что $x$ — это положительное число, то есть $x > 0$. Проанализируем знак каждого слагаемого в выражении $f(x)$ при этом условии:

1. Слагаемое $12x^2$. Так как $x > 0$, то $x^2 > 0$. Произведение положительного числа 12 на положительное число $x^2$ также будет положительным: $12x^2 > 0$.

2. Слагаемое $70x$. Так как $x > 0$, произведение положительного числа 70 на $x$ также будет положительным: $70x > 0$.

3. Слагаемое $a^2 + 1$. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $a^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Это слагаемое всегда строго положительно.

Теперь сложим все три слагаемых. Мы складываем два строго положительных числа ($12x^2$ и $70x$) и число, которое больше или равно 1 ($a^2 + 1$). Их сумма всегда будет положительной. Более того, мы можем записать строгое неравенство:
$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1 > 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, для любого положительного значения $x$ и любого действительного значения $a$ левая часть уравнения, $f(x)$, всегда строго больше 1. Выражение, которое всегда больше 1, не может равняться нулю. Это означает, что не существует такого положительного $x$, которое бы являлось корнем данного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого $x > 0$ и любого действительного $a$ левая часть уравнения $12x^2 + 70x + a^2 + 1$ является суммой строго положительных слагаемых ($12x^2 > 0$, $70x > 0$) и слагаемого, которое не меньше единицы ($a^2+1 \ge 1$). Следовательно, вся сумма строго больше нуля, а значит, уравнение не может иметь положительных корней.

675. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:

a) $2x^2 - 41x + 39 = 0;$

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0.$

Докажем заданное свойство.

Рассмотрим квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

По условию, сумма его коэффициентов равна нулю: $a + b + c = 0$.

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной $x$. Подставим в левую часть уравнения значение $x = 1$:

$a(1)^2 + b(1) + c = a \cdot 1 + b + c = a + b + c$.

Так как по условию мы знаем, что $a + b + c = 0$, то при подстановке $x = 1$ мы получаем верное равенство $0 = 0$.

Это означает, что $x = 1$ действительно является одним из корней квадратного уравнения, если сумма его коэффициентов равна нулю. Что и требовалось доказать.

Теперь используем это свойство для решения уравнений.

а) $2x^2 - 41x + 39 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 2$, $b = -41$, $c = 39$.

Найдем сумму коэффициентов: $a + b + c = 2 + (-41) + 39 = 2 - 41 + 39 = -39 + 39 = 0$.

Сумма коэффициентов равна нулю, следовательно, один из корней уравнения равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения равно $\frac{c}{a}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{39}{2}$

$x_2 = \frac{39}{2} = 19.5$

Корни уравнения: 1 и 19.5.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 19.5$.

б) $17x^2 + 243x - 260 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 17$, $b = 243$, $c = -260$.

Найдем сумму коэффициентов: $a + b + c = 17 + 243 + (-260) = 260 - 260 = 0$.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит, один из корней уравнения равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Второй корень $x_2$ найдем по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{-260}{17}$

$x_2 = -\frac{260}{17}$

Корни уравнения: 1 и $-\frac{260}{17}$.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{260}{17}$.

676. Разность корней уравнения $3x^2 + bx + 10 = 0$ равна $4\frac{1}{3}$. Найдите $b$.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + bx + 10 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, разность корней равна $4\frac{1}{3}$. Переведем это значение в неправильную дробь: $|x_1 - x_2| = 4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{k}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 + bx + 10 = 0$ коэффициенты равны: $a=3$, $k=b$, $c=10$. Применим теорему Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}$

Существует тождество, которое связывает разность корней, их сумму и произведение: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$. Возведем в квадрат известную нам разность корней: $(x_1 - x_2)^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 = \frac{169}{9}$.

Теперь подставим все известные и выраженные величины в тождество: $\frac{169}{9} = \left(-\frac{b}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{10}{3}\right)$
$\frac{169}{9} = \frac{b^2}{9} - \frac{40}{3}$

Чтобы решить полученное уравнение, умножим обе его части на 9, чтобы избавиться от дробей: $9 \cdot \frac{169}{9} = 9 \cdot \frac{b^2}{9} - 9 \cdot \frac{40}{3}$
$169 = b^2 - 3 \cdot 40$
$169 = b^2 - 120$

Найдем $b^2$: $b^2 = 169 + 120$
$b^2 = 289$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим возможные значения $b$: $b = \pm\sqrt{289}$
$b = \pm17$

Ответ: $b = \pm17$.

677. Один из корней уравнения $5x^2 - 12x + c = 0$ в 3 раза больше другого. Найдите $c$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 - 12x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один корень в 3 раза больше другого. Запишем это соотношение: $x_1 = 3x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -12$.

Подставим известные значения и соотношение между корнями в первую формулу Виета (для суммы корней):

$x_1 + x_2 = - \frac{-12}{5}$

Заменим $x_1$ на $3x_2$:

$3x_2 + x_2 = \frac{12}{5}$

$4x_2 = \frac{12}{5}$

Отсюда найдем значение одного из корней, $x_2$:

$x_2 = \frac{12}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5}$

Теперь найдем второй корень $x_1$:

$x_1 = 3x_2 = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь, зная оба корня, мы можем использовать вторую формулу Виета (для произведения корней), чтобы найти коэффициент $c$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим найденные значения корней и известный коэффициент $a$:

$\frac{9}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{c}{5}$

$\frac{27}{25} = \frac{c}{5}$

Выразим $c$ из этого уравнения:

$c = \frac{27}{25} \cdot 5 = \frac{27}{5}$

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$c = 5.4$

Ответ: $c = 5.4$

678. Частное корней уравнения $4x^2 + bx - 27 = 0$ равно $-3$. Найдите $b$.

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx - 27 = 0$. Обозначим его корни через $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, частное этих корней равно -3. Это можно записать как $\frac{x_1}{x_2} = -3$, из чего следует, что $x_1 = -3x_2$. (Если бы мы взяли соотношение $\frac{x_2}{x_1} = -3$, это привело бы к тому же набору корней и тем же итоговым значениям для $b$).

Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, теорема Виета связывает его коэффициенты и корни следующими формулами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $4x^2 + bx - 27 = 0$ коэффициенты равны: $a=4$, $b=b$ и $c=-27$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$

2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}$

Теперь мы можем составить и решить систему уравнений, используя соотношение между корнями $x_1 = -3x_2$ и формулу произведения корней:

$(-3x_2) \cdot x_2 = -\frac{27}{4}$

$-3x_2^2 = -\frac{27}{4}$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x_2^2 = \frac{27}{4 \cdot 3} = \frac{9}{4}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для корня $x_2$:

$x_2 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ или $x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждый из этих двух случаев, чтобы найти соответствующее значение $b$.

Случай 1: корень $x_2 = \frac{3}{2}$.

Тогда второй корень $x_1 = -3x_2 = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Согласно формуле суммы корней, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$. Подставим найденное значение суммы:

$-3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = 12$.

Случай 2: корень $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Тогда второй корень $x_1 = -3x_2 = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{9}{2} + (-\frac{3}{2}) = \frac{6}{2} = 3$.

Согласно формуле суммы корней, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$. Подставим найденное значение суммы:

$3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = -12$.

Таким образом, оба значения $b=12$ и $b=-12$ являются решениями задачи.

Ответ: $b=12$ или $b=-12$.

679. Квадрат разности корней уравнения $x^2 + px + 90 = 0$ равен 81.

Найдите $p$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + 90 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По условию задачи, квадрат разности корней равен 81, то есть $(x_1 - x_2)^2 = 81$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае коэффициенты равны $b=p$ и $c=90$. Таким образом, по теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = 90$

Теперь преобразуем выражение для квадрата разности корней, чтобы выразить его через сумму и произведение корней. Используем известное тождество: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения:

• $(x_1 - x_2)^2 = 81$ (из условия)
• $x_1 + x_2 = -p$
• $x_1 \cdot x_2 = 90$

Получаем уравнение относительно $p$:
$81 = (-p)^2 - 4 \cdot 90$
$81 = p^2 - 360$
$p^2 = 81 + 360$
$p^2 = 441$
$p = \pm\sqrt{441}$
$p = \pm 21$

Оба значения $p$ являются решением. Убедимся, что при этих значениях $p$ уравнение имеет действительные корни, проверив знак дискриминанта $D = p^2 - 4ac$. $D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 441 - 360 = 81$. Так как $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $p=21$ и $p=-21$.

Ответ: $p = 21$ или $p = -21$.

680. Разность квадратов корней уравнения $2x^2 - 5x + c = 0$ равна 0,25. Найдите $c$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + c = 0$.По условию задачи, разность квадратов корней равна $0,25$. Запишем это математически:$x_1^2 - x_2^2 = 0.25$(Следует отметить, что выбор порядка вычитания, т.е. $x_1^2 - x_2^2$ или $x_2^2 - x_1^2$, не повлияет на итоговое значение $c$, так как произведение корней $x_1 \cdot x_2$ останется тем же).Применим теорему Виета для данного уравнения. Для уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{d}{a}$.В нашем случае $a=2$, $b=-5$.Сумма корней:$x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$Произведение корней:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$Теперь вернемся к условию $x_1^2 - x_2^2 = 0.25$. Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов:$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0.25$Мы уже нашли, что сумма корней $x_1 + x_2 = 2.5$. Подставим это значение в уравнение:$(x_1 - x_2) \cdot 2.5 = 0.25$Из этого уравнения можно найти разность корней:$x_1 - x_2 = \frac{0.25}{2.5} = 0.1$Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:1) $x_1 + x_2 = 2.5$2) $x_1 - x_2 = 0.1$Сложим первое и второе уравнения:$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 2.5 + 0.1$$2x_1 = 2.6$$x_1 = \frac{2.6}{2} = 1.3$Теперь подставим значение $x_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:$1.3 + x_2 = 2.5$$x_2 = 2.5 - 1.3 = 1.2$Итак, корни уравнения равны $1.3$ и $1.2$.Для того чтобы найти $c$, воспользуемся формулой произведения корней из теоремы Виета:$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{2}$Подставим найденные значения корней:$1.3 \cdot 1.2 = \frac{c}{2}$$1.56 = \frac{c}{2}$Наконец, находим значение $c$:$c = 1.56 \cdot 2 = 3.12$

Ответ: $c = 3.12$

681. Один из корней уравнения $4x^2 + bx + c = 0$ равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите $b$ и $c$.

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, один из его корней равен $0,5$, а другой корень равен свободному члену $c$. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Таким образом, имеем: $x_1 = 0,5$ и $x_2 = c$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В заданном уравнении старший коэффициент $a = 4$.

Подставим известные данные в формулу для произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$0,5 \cdot c = \frac{c}{4}$
Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $c$:
$0,5c - \frac{c}{4} = 0$
$0,5c - 0,25c = 0$
$0,25c = 0$
Отсюда следует, что $c = 0$.

Теперь, зная, что $c = 0$, мы можем определить второй корень уравнения: $x_2 = c = 0$. Далее подставим значения корней в формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $b$:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$0,5 + 0 = -\frac{b}{4}$
$0,5 = -\frac{b}{4}$
Чтобы найти $b$, умножим обе части уравнения на -4:
$b = -4 \cdot 0,5$
$b = -2$

Мы нашли искомые коэффициенты: $b = -2$ и $c = 0$.

Ответ: $b = -2$, $c = 0$.

682. Известно, что коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, являются его корнями. Найдите $b$ и $c$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, его корни — это коэффициенты $b$ и $c$. Обозначим корни как $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Также известно, что $c \neq 0$.

Для решения воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие равенства:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применим теорему Виета к нашему уравнению. В данном случае $p=b$, $q=c$, а корни $x_1=b$ и $x_2=c$. Получаем систему уравнений:
1) $b + c = -b$
2) $b \cdot c = c$

Начнем решение системы со второго уравнения: $b \cdot c = c$.
Перенесем $c$ в левую часть: $b \cdot c - c = 0$.
Вынесем общий множитель $c$: $c(b - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:
Случай A: $c = 0$. Этот случай противоречит условию задачи ($c \neq 0$), поэтому мы его отбрасываем.
Случай B: $b - 1 = 0$. Отсюда следует, что $b = 1$.

Теперь, зная, что $b=1$, подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$), чтобы найти $c$:
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$

Итак, мы нашли искомые коэффициенты: $b=1$ и $c=-2$.

Проведем проверку. Подставим найденные значения $b$ и $c$ в исходное уравнение:
$x^2 + (1)x + (-2) = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Его можно разложить на множители: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Эти корни в точности совпадают с найденными значениями коэффициентов $c = -2$ и $b = 1$. Условие $c \neq 0$ также выполнено. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $b=1$, $c=-2$.

683. Выразите через p и q сумму квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Нам необходимо найти сумму квадратов корней, то есть выражение $x_1^2 + x_2^2$.
Для этого преобразуем искомое выражение, выделив в нем полный квадрат суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2$
Сгруппировав первые три слагаемых, получим формулу квадрата суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q)$
Упростим полученное выражение:
$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$
Таким образом, сумма квадратов корней уравнения выражается через его коэффициенты как $p^2 - 2q$.

Ответ: $p^2 - 2q$

684. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 15x + q = 0$ равна 153. Найдите $q$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни

685. Квадрат разности корней уравнения $x^2 + px + 405 = 0$ равен 144. Найдите $p$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + px + 405 = 0$.

Согласно условию задачи, квадрат разности этих корней равен 144. Это можно записать в виде формулы:
$(x_1 - x_2)^2 = 144$.

Для нахождения коэффициента $p$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + px + 405 = 0$, коэффициенты равны $b=p$ и $c=405$. Следовательно:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = 405$

Существует тождество, которое связывает квадрат разности корней с их суммой и произведением:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам из условия и из теоремы Виета значения:
$144 = (-p)^2 - 4 \cdot 405$

Теперь решим полученное уравнение:
$144 = p^2 - 1620$
$p^2 = 144 + 1620$
$p^2 = 1764$

Чтобы найти $p$, извлечем квадратный корень из 1764:
$p = \pm\sqrt{1764}$
$p = \pm 42$

Таким образом, возможны два значения для параметра $p$.

Ответ: $p = 42$ или $p = -42$.

686. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 + 2x + k = 0$, причём $2x_1 = -3x_2$. Найдите $k$.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + 2x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Коэффициенты этого уравнения: $a = 3$, $b = 2$, $c = k$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для корней квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Применим эти формулы к нашему уравнению, подставив известные коэффициенты:

1) $x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$

2) $x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

Кроме того, в условии задачи дано еще одно соотношение между корнями:

3) $2x_1 = -3x_2$

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x_1$, $x_2$ и $k$). Решим эту систему. Из третьего уравнения выразим $x_1$ через $x_2$:

$x_1 = -\frac{3}{2}x_2$

Теперь подставим это выражение для $x_1$ в первое уравнение (формулу суммы корней):

$(-\frac{3}{2}x_2) + x_2 = -\frac{2}{3}$

Упростим левую часть уравнения:

$-\frac{3}{2}x_2 + \frac{2}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$

$-\frac{1}{2}x_2 = -\frac{2}{3}$

Отсюда найдем значение $x_2$:

$x_2 = (-\frac{2}{3}) \cdot (-2) = \frac{4}{3}$

Зная $x_2$, найдем $x_1$:

$x_1 = -\frac{3}{2}x_2 = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = -2$

Теперь, когда мы нашли значения обоих корней ($x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{3}$), мы можем найти $k$, подставив эти значения во второе уравнение (формулу произведения корней):

$x_1 \cdot x_2 = \frac{k}{3}$

$(-2) \cdot \frac{4}{3} = \frac{k}{3}$

$-\frac{8}{3} = \frac{k}{3}$

Из этого равенства следует, что $k = -8$.

Ответ: -8

687. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 8x + k = 0$, причём $3x_1 + 4x_2 = 29$. Найдите $k$.

Решение

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для такого уравнения по теореме Виета справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = k$.

Также, по условию задачи, дано еще одно уравнение, связывающее корни: $3x_1 + 4x_2 = 29$.

Получаем систему из двух линейных уравнений с неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ 3x_1 + 4x_2 = 29 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = 8 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(8 - x_2) + 4x_2 = 29$

Раскроем скобки и найдем $x_2$:

$24 - 3x_2 + 4x_2 = 29$

$24 + x_2 = 29$

$x_2 = 29 - 24 = 5$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение $x_1 = 8 - x_2$:

$x_1 = 8 - 5 = 3$

Итак, мы определили корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Чтобы найти $k$, воспользуемся формулой для произведения корней из теоремы Виета:

$k = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: $15$

688. Зная, что уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) $3x_1$ и $3x_2$;

б) $x_1 + 2$ и $x_2 + 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Новое приведенное квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$ можно составить по формуле $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Для этого необходимо найти сумму и произведение новых корней, выразив их через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения.

а)

Требуется составить уравнение, корнями которого являются $y_1 = 3x_1$ и $y_2 = 3x_2$.

1. Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = 3(-p) = -3p$

2. Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (3x_1) \cdot (3x_2) = 9(x_1 \cdot x_2) = 9q$

3. Подставим найденные значения в формулу для нового уравнения, используя переменную $y$:

$y^2 - (-3p)y + 9q = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $y^2 + 3py + 9q = 0$.

Ответ: $y^2 + 3py + 9q = 0$.

б)

Требуется составить уравнение, корнями которого являются $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.

1. Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -p + 4$

2. Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = (x_1 x_2) + 2(x_1 + x_2) + 4$

Подставим известные значения $x_1 x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2(-p) + 4 = q - 2p + 4$

3. Подставим найденные значения в формулу для нового уравнения, используя переменную $y$:

$y^2 - (-p + 4)y + (q - 2p + 4) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $y^2 + (p - 4)y + (q - 2p + 4) = 0$.

Ответ: $y^2 + (p - 4)y + (q - 2p + 4) = 0$.

689. Известно, что уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для этого уравнения, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = \frac{x_1}{x_2}$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1}$.

Для составления нового приведенного квадратного уравнения вида $y^2 + P'y + Q' = 0$ воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Коэффициенты $P'$ и $Q'$ связаны с новыми корнями $y_1$ и $y_2$ следующим образом:

• $P' = -(y_1 + y_2)$
• $Q' = y_1 y_2$

Сначала найдем сумму новых корней $y_1 + y_2$, выразив ее через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения.

$y_1 + y_2 = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Чтобы выразить числитель $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся известным тождеством: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим значения $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$

Подставим это выражение обратно в формулу для суммы новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{p^2 - 2q}{q}$

Заметим, что для существования корней $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$ необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это означает, что их произведение $x_1 x_2 = q$ также не равно нулю ($q \neq 0$).

Далее найдем произведение новых корней $y_1 y_2$:

$y_1 y_2 = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1$

Теперь мы можем составить искомое приведенное квадратное уравнение, подставив найденные значения суммы и произведения корней:

$y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$

$y^2 - \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (если $p$ и $q$ - целые), можно умножить обе части уравнения на $q$:

$q \cdot y^2 - q \cdot \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + q \cdot 1 = 0$

$qy^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $qy^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$ (где $y$ - переменная нового уравнения).