Номер 674, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 674, страница 154.

674. Докажите, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ при любых значениях $a$ не имеет положительных корней.

Для доказательства того, что уравнение $12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0$ не имеет положительных корней при любых значениях $a$, рассмотрим левую часть уравнения. Обозначим ее как функцию $f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1$. Наша задача — показать, что $f(x) \ne 0$ для любого $x > 0$.

Предположим, что $x$ — это положительное число, то есть $x > 0$. Проанализируем знак каждого слагаемого в выражении $f(x)$ при этом условии:

1. Слагаемое $12x^2$. Так как $x > 0$, то $x^2 > 0$. Произведение положительного числа 12 на положительное число $x^2$ также будет положительным: $12x^2 > 0$.

2. Слагаемое $70x$. Так как $x > 0$, произведение положительного числа 70 на $x$ также будет положительным: $70x > 0$.

3. Слагаемое $a^2 + 1$. Для любого действительного числа $a$ его квадрат $a^2$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$). Следовательно, сумма $a^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Это слагаемое всегда строго положительно.

Теперь сложим все три слагаемых. Мы складываем два строго положительных числа ($12x^2$ и $70x$) и число, которое больше или равно 1 ($a^2 + 1$). Их сумма всегда будет положительной. Более того, мы можем записать строгое неравенство:
$f(x) = 12x^2 + 70x + a^2 + 1 > 0 + 0 + 1 = 1$.

Таким образом, для любого положительного значения $x$ и любого действительного значения $a$ левая часть уравнения, $f(x)$, всегда строго больше 1. Выражение, которое всегда больше 1, не может равняться нулю. Это означает, что не существует такого положительного $x$, которое бы являлось корнем данного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого $x > 0$ и любого действительного $a$ левая часть уравнения $12x^2 + 70x + a^2 + 1$ является суммой строго положительных слагаемых ($12x^2 > 0$, $70x > 0$) и слагаемого, которое не меньше единицы ($a^2+1 \ge 1$). Следовательно, вся сумма строго больше нуля, а значит, уравнение не может иметь положительных корней.