Номер 673, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 673, страница 153.

673. Докажите, что уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ при любых значениях $b$ имеет один положительный и один отрицательный корень.

Рассмотрим заданное квадратное уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$. Это уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 7$, $b$ — произвольное действительное число, $c = -23$.

Чтобы доказать, что уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень при любом значении $b$, необходимо установить два факта:
1. Уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
2. Эти корни имеют разные знаки.

Первый факт доказывается через анализ дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант больше нуля ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня. Вычислим дискриминант для нашего уравнения: $D = b^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-23) = b^2 + 28 \cdot 23 = b^2 + 644$.

Поскольку квадрат любого действительного числа $b$ неотрицателен ($b^2 \ge 0$), то значение дискриминанта всегда будет положительным: $D = b^2 + 644 \ge 0 + 644 = 644$. Так как $D > 0$ при любом значении $b$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Обозначим их $x_1$ и $x_2$.

Второй факт доказывается с помощью теоремы Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$.

Применим теорему к нашему уравнению: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7}$ является отрицательным числом. Произведение двух чисел может быть отрицательным только в том случае, если эти числа имеют разные знаки. Следовательно, один из корней положителен, а другой отрицателен.

Таким образом, мы доказали, что при любом значении $b$ уравнение $7x^2 + bx - 23 = 0$ имеет два корня, один из которых положительный, а другой — отрицательный.

Ответ: Утверждение доказано. При любом значении $b$ дискриминант уравнения $D=b^2+644$ всегда положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня. По теореме Виета, произведение этих корней равно $x_1 \cdot x_2 = -23/7$, то есть оно отрицательно. Это означает, что корни имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный.