Номер 669, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 669, страница 153.

669. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда следующее за ним, большее число, равно $n+1$. По условию задачи разность их кубов равна 919. Составим и решим уравнение:

$(n+1)^3 - n^3 = 919$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = 919$

$n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 919$

Приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 3n + 1 = 919$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3n^2 + 3n + 1 - 919 = 0$

$3n^2 + 3n - 918 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$n^2 + n - 306 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225$

Найдем корни уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 35}{2}$

$n_1 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{-1 - 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как по условию числа натуральные, то корень $n = -18$ не является решением задачи. Следовательно, меньшее из чисел равно 17.

Тогда большее число равно $17 + 1 = 18$.

Проверка: $18^3 - 17^3 = 5832 - 4913 = 919$.

Ответ: 17 и 18.