Номер 665, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 665, страница 153.

665. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна $3,25 \text{ м}^2$.

Пусть $x$ — искомая ширина дернового бордюра в метрах.

Цветочная клумба вместе с бордюром образует большой прямоугольник. Согласно условию, его размеры:
Длина $L_{общ} = 4,5$ м
Ширина $W_{общ} = 2,5$ м

Площадь этого большого прямоугольника ($S_{общ}$) вычисляется как произведение длины на ширину:
$S_{общ} = L_{общ} \times W_{общ} = 4,5 \times 2,5 = 11,25$ м².

Сама цветочная клумба является внутренним прямоугольником. Поскольку бордюр имеет одинаковую ширину $x$ со всех сторон, размеры клумбы будут меньше размеров большого прямоугольника на $2x$ по каждой стороне (ширина бордюра сверху и снизу, слева и справа).
Длина клумбы: $L_{кл} = 4,5 - 2x$ м.
Ширина клумбы: $W_{кл} = 2,5 - 2x$ м.

Площадь бордюра ($S_{бордюра}$) равна разности площадей большого прямоугольника и цветочной клумбы:
$S_{бордюра} = S_{общ} - S_{кл} = S_{общ} - (L_{кл} \times W_{кл})$.

По условию задачи, $S_{бордюра} = 3,25$ м². Подставим все известные значения в уравнение:
$3,25 = 11,25 - (4,5 - 2x)(2,5 - 2x)$.

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим его:
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 11,25 - 3,25$
$(4,5 - 2x)(2,5 - 2x) = 8$.

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:
$4,5 \cdot 2,5 - 4,5 \cdot 2x - 2,5 \cdot 2x + (2x) \cdot (2x) = 8$
$11,25 - 9x - 5x + 4x^2 = 8$
$4x^2 - 14x + 11,25 - 8 = 0$
$4x^2 - 14x + 3,25 = 0$.

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3,25 = 196 - 16 \cdot 3,25 = 196 - 52 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые мы находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{14 + 12}{8} = \frac{26}{8} = 3,25$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{14 - 12}{8} = \frac{2}{8} = 0,25$.

Мы получили два возможных значения для ширины бордюра. Однако ширина бордюра $x$ не может быть такой, чтобы размеры внутренней клумбы стали отрицательными. Ширина всего участка равна $2,5$ м. Общая ширина бордюров по этой стороне равна $2x$. Следовательно, должно выполняться условие $2x < 2,5$ м, или $x < 1,25$ м.
Корень $x_1 = 3,25$ м не удовлетворяет этому условию ($3,25 > 1,25$), поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 0,25$ м удовлетворяет условию ($0,25 < 1,25$).
Таким образом, единственное возможное значение ширины бордюра — 0,25 м.

Ответ: 0,25 м.