Номер 663, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 663, страница 153.

663. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна $116 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим смежные стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 28 см. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Подставим известное значение в формулу: $2(a + b) = 28$ Разделив обе части уравнения на 2, получим первое уравнение: $a + b = 14$

Также по условию, сумма площадей квадратов, построенных на этих сторонах, равна 116 см². Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$, а площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$. Следовательно, мы получаем второе уравнение: $a^2 + b^2 = 116$

Теперь необходимо решить систему из двух уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим переменную $b$ через $a$: $b = 14 - a$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы: $a^2 + (14 - a)^2 = 116$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^2 + (14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2) = 116$ $a^2 + 196 - 28a + a^2 = 116$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$: $2a^2 - 28a + 196 - 116 = 0$ $2a^2 - 28a + 80 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $a^2 - 14a + 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Согласно ей, сумма корней уравнения равна коэффициенту при $a$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 40. Подбором находим корни: $a_1 = 10$ и $a_2 = 4$. (Проверка: $10 + 4 = 14$ и $10 \cdot 4 = 40$).

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны $b$, используя формулу $b = 14 - a$:
- Если $a = 10$ см, то $b = 14 - 10 = 4$ см.
- Если $a = 4$ см, то $b = 14 - 4 = 10$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника равны 10 см и 4 см.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:
Периметр: $P = 2(10 + 4) = 2 \cdot 14 = 28$ см. (Верно)
Сумма площадей квадратов: $10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116$ см². (Верно)

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 10 см.