Номер 666, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 666, страница 153.

666. Старинная задача.

Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этом он потерял столько процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Обозначим первоначальную стоимость лошади, за которую её купили, как $x$ пистолей.

Согласно условию задачи, лошадь продали за 24 пистоля. Следовательно, убыток (потеря) от продажи составил $(x - 24)$ пистоля.

Также в условии сказано, что понесённый убыток в процентах равен первоначальной стоимости лошади, то есть он составляет $x\%$. Сумму этого убытка можно выразить как $x\%$ от первоначальной цены $x$. Математически это записывается так: Убыток = $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для убытка и составить уравнение: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 100, чтобы избавиться от знаменателя, и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $100(x - 24) = x^2$ $100x - 2400 = x^2$ $x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-100$, $c=2400$.

Вычислим дискриминант ($D$): $D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их: $x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два возможных положительных значения для первоначальной стоимости лошади. Проверим оба варианта, чтобы убедиться, что они соответствуют условиям задачи.

Вариант 1: Первоначальная цена $x = 60$ пистолей.
Процент потерь равен 60%. Сумма убытка составляет $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля. Этот результат совпадает с условием задачи.

Вариант 2: Первоначальная цена $x = 40$ пистолей.
Процент потерь равен 40%. Сумма убытка составляет $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля. Этот результат также совпадает с условием задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: лошадь была куплена за 40 пистолей или за 60 пистолей.