Номер 672, страница 153 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 672, страница 153.

672. Найдите b и решите уравнение:

а) $2x^2 + bx - 10 = 0$, если оно имеет корень 5;

б) $3x^2 + bx + 24 = 0$, если оно имеет корень 3;

в) $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$, если оно имеет корень 3;

г) $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$, если оно имеет корень $\frac{1}{2}$.

а) $2x^2 + bx - 10 = 0$, если оно имеет корень 5;

Поскольку $x=5$ является корнем уравнения, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти коэффициент $b$.

$2 \cdot (5)^2 + b \cdot 5 - 10 = 0$
$2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0$
$50 + 5b - 10 = 0$
$40 + 5b = 0$
$5b = -40$
$b = -8$

Теперь, когда мы нашли $b$, подставим его значение обратно в исходное уравнение и решим его:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:
$x^2 - 4x - 5 = 0$

Мы знаем, что один корень $x_1 = 5$. Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней равно $q$. В нашем случае $q = -5$.
$x_1 \cdot x_2 = -5$
$5 \cdot x_2 = -5$
$x_2 = -1$

Ответ: $b = -8$; корни уравнения: $5$ и $-1$.

б) $3x^2 + bx + 24 = 0$, если оно имеет корень 3;

Подставим известный корень $x=3$ в уравнение для нахождения $b$:
$3 \cdot (3)^2 + b \cdot 3 + 24 = 0$
$3 \cdot 9 + 3b + 24 = 0$
$27 + 3b + 24 = 0$
$51 + 3b = 0$
$3b = -51$
$b = -17$

Подставим $b = -17$ в уравнение:
$3x^2 - 17x + 24 = 0$

Один корень $x_1 = 3$. Для нахождения второго корня $x_2$ используем теорему Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ произведение корней равно $c/a$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{24}{3} = 8$
$3 \cdot x_2 = 8$
$x_2 = \frac{8}{3}$

Ответ: $b = -17$; корни уравнения: $3$ и $\frac{8}{3}$.

в) $(b - 1)x^2 - (b + 1)x = 72$, если оно имеет корень 3;

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$(b - 1)x^2 - (b + 1)x - 72 = 0$

Подставим известный корень $x=3$ в уравнение, чтобы найти $b$:
$(b - 1) \cdot (3)^2 - (b + 1) \cdot 3 - 72 = 0$
$9(b - 1) - 3(b + 1) - 72 = 0$
$9b - 9 - 3b - 3 - 72 = 0$
$6b - 84 = 0$
$6b = 84$
$b = 14$

Теперь подставим $b=14$ в уравнение:
$(14 - 1)x^2 - (14 + 1)x - 72 = 0$
$13x^2 - 15x - 72 = 0$

Один корень $x_1 = 3$. Используем теорему Виета для нахождения второго корня $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-72}{13}$
$3 \cdot x_2 = -\frac{72}{13}$
$x_2 = -\frac{72}{13 \cdot 3} = -\frac{24}{13}$

Ответ: $b = 14$; корни уравнения: $3$ и $-\frac{24}{13}$.

г) $(b - 5)x^2 - (b - 2)x + b = 0$, если оно имеет корень $\frac{1}{2}$.

Подставим корень $x=\frac{1}{2}$ в уравнение для нахождения $b$:
$(b - 5) \cdot (\frac{1}{2})^2 - (b - 2) \cdot \frac{1}{2} + b = 0$
$(b - 5) \cdot \frac{1}{4} - \frac{b - 2}{2} + b = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 \cdot (b - 5) \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{b - 2}{2} + 4 \cdot b = 0$
$(b - 5) - 2(b - 2) + 4b = 0$
$b - 5 - 2b + 4 + 4b = 0$
$3b - 1 = 0$
$3b = 1$
$b = \frac{1}{3}$

Подставим $b=\frac{1}{3}$ в исходное уравнение:
$(\frac{1}{3} - 5)x^2 - (\frac{1}{3} - 2)x + \frac{1}{3} = 0$
$(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})x^2 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 - (-\frac{5}{3})x + \frac{1}{3} = 0$
$-\frac{14}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$

Умножим все уравнение на -3 для упрощения:
$14x^2 - 5x - 1 = 0$

Один корень $x_1 = \frac{1}{2}$. Используем теорему Виета для нахождения второго корня $x_2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{14}$
$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -\frac{1}{14}$
$x_2 = -\frac{1}{14} \cdot 2 = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $b = \frac{1}{3}$; корни уравнения: $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{7}$.