Номер 678, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 678, страница 154.

678. Частное корней уравнения $4x^2 + bx - 27 = 0$ равно $-3$. Найдите $b$.

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx - 27 = 0$. Обозначим его корни через $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, частное этих корней равно -3. Это можно записать как $\frac{x_1}{x_2} = -3$, из чего следует, что $x_1 = -3x_2$. (Если бы мы взяли соотношение $\frac{x_2}{x_1} = -3$, это привело бы к тому же набору корней и тем же итоговым значениям для $b$).

Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся теоремой Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, теорема Виета связывает его коэффициенты и корни следующими формулами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $4x^2 + bx - 27 = 0$ коэффициенты равны: $a=4$, $b=b$ и $c=-27$. Применим теорему Виета к нашему уравнению:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$

2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}$

Теперь мы можем составить и решить систему уравнений, используя соотношение между корнями $x_1 = -3x_2$ и формулу произведения корней:

$(-3x_2) \cdot x_2 = -\frac{27}{4}$

$-3x_2^2 = -\frac{27}{4}$

Разделим обе части уравнения на -3:

$x_2^2 = \frac{27}{4 \cdot 3} = \frac{9}{4}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для корня $x_2$:

$x_2 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ или $x_2 = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим каждый из этих двух случаев, чтобы найти соответствующее значение $b$.

Случай 1: корень $x_2 = \frac{3}{2}$.

Тогда второй корень $x_1 = -3x_2 = -3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = -\frac{9}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{6}{2} = -3$.

Согласно формуле суммы корней, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$. Подставим найденное значение суммы:

$-3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = 12$.

Случай 2: корень $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Тогда второй корень $x_1 = -3x_2 = -3 \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$.

Найдем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{9}{2} + (-\frac{3}{2}) = \frac{6}{2} = 3$.

Согласно формуле суммы корней, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$. Подставим найденное значение суммы:

$3 = -\frac{b}{4}$

Отсюда $b = -12$.

Таким образом, оба значения $b=12$ и $b=-12$ являются решениями задачи.

Ответ: $b=12$ или $b=-12$.