Номер 682, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 682, страница 154.

682. Известно, что коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, являются его корнями. Найдите $b$ и $c$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$. По условию задачи, его корни — это коэффициенты $b$ и $c$. Обозначим корни как $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Также известно, что $c \neq 0$.

Для решения воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие равенства:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применим теорему Виета к нашему уравнению. В данном случае $p=b$, $q=c$, а корни $x_1=b$ и $x_2=c$. Получаем систему уравнений:
1) $b + c = -b$
2) $b \cdot c = c$

Начнем решение системы со второго уравнения: $b \cdot c = c$.
Перенесем $c$ в левую часть: $b \cdot c - c = 0$.
Вынесем общий множитель $c$: $c(b - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:
Случай A: $c = 0$. Этот случай противоречит условию задачи ($c \neq 0$), поэтому мы его отбрасываем.
Случай B: $b - 1 = 0$. Отсюда следует, что $b = 1$.

Теперь, зная, что $b=1$, подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$), чтобы найти $c$:
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$

Итак, мы нашли искомые коэффициенты: $b=1$ и $c=-2$.

Проведем проверку. Подставим найденные значения $b$ и $c$ в исходное уравнение:
$x^2 + (1)x + (-2) = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Его можно разложить на множители: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
Корнями являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Эти корни в точности совпадают с найденными значениями коэффициентов $c = -2$ и $b = 1$. Условие $c \neq 0$ также выполнено. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $b=1$, $c=-2$.