Номер 688, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 688, страница 154.

688. Зная, что уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) $3x_1$ и $3x_2$;

б) $x_1 + 2$ и $x_2 + 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для исходного приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Новое приведенное квадратное уравнение с корнями $y_1$ и $y_2$ можно составить по формуле $y^2 - (y_1 + y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Для этого необходимо найти сумму и произведение новых корней, выразив их через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения.

а)

Требуется составить уравнение, корнями которого являются $y_1 = 3x_1$ и $y_2 = 3x_2$.

1. Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = 3(-p) = -3p$

2. Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (3x_1) \cdot (3x_2) = 9(x_1 \cdot x_2) = 9q$

3. Подставим найденные значения в формулу для нового уравнения, используя переменную $y$:

$y^2 - (-3p)y + 9q = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $y^2 + 3py + 9q = 0$.

Ответ: $y^2 + 3py + 9q = 0$.

б)

Требуется составить уравнение, корнями которого являются $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.

1. Найдем сумму новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -p + 4$

2. Найдем произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = (x_1 x_2) + 2(x_1 + x_2) + 4$

Подставим известные значения $x_1 x_2 = q$ и $x_1 + x_2 = -p$:

$y_1 \cdot y_2 = q + 2(-p) + 4 = q - 2p + 4$

3. Подставим найденные значения в формулу для нового уравнения, используя переменную $y$:

$y^2 - (-p + 4)y + (q - 2p + 4) = 0$

Таким образом, искомое уравнение: $y^2 + (p - 4)y + (q - 2p + 4) = 0$.

Ответ: $y^2 + (p - 4)y + (q - 2p + 4) = 0$.