Номер 694, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 694, страница 155.

694. Решите графически уравнение:

а) $ \frac{6}{|x|} = 1,5x - 2;$

б) $ \frac{8}{|x|} = x^2;$

в) $ \frac{3}{|x|} = x + 1;$

г) $ x^2 = \frac{5}{|x|}.$

а) $ \frac{6}{|x|} = 1.5x - 2 $

Для графического решения этого уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{6}{|x|}$ и $y = 1.5x - 2$.

1. График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
При $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Контрольные точки: (1, 6), (2, 3), (3, 2).
При $x < 0$ функция принимает вид $y = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Контрольные точки: (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2).

2. График функции $y = 1.5x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 1.5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
Если $x=2$, то $y = 1.5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (2, 1).

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке, которая находится в первой четверти. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графика видно, что корень уравнения находится между 2 и 3, и он приблизительно равен 2.8.

Проверка:
Левая часть: $\frac{6}{|2.8|} = \frac{6}{2.8} \approx 2.14$.
Правая часть: $1.5 \cdot 2.8 - 2 = 4.2 - 2 = 2.2$.
Значения близки, что подтверждает правильность графической оценки.

Ответ: $x \approx 2.8$.

б) $ \frac{8}{|x|} = x^2 $

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{|x|}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{8}{|x|}$ симметричен относительно оси Oy.
При $x > 0$ имеем $y = \frac{8}{x}$ (ветвь гиперболы в первой четверти). Контрольные точки: (1, 8), (2, 4), (4, 2).
При $x < 0$ имеем $y = -\frac{8}{x}$ (ветвь гиперболы во второй четверти). Контрольные точки: (-1, 8), (-2, 4), (-4, 2).

2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Контрольные точки: (0, 0), (1, 1), (2, 4), (-1, 1), (-2, 4).

3. Построим графики. Мы видим, что они пересекаются в двух точках. Так как обе функции четные, абсциссы точек пересечения будут противоположными числами.
Найдем положительный корень. Из графиков видно, что точка пересечения в первой четверти имеет координаты (2, 4). Проверим:
Для $x=2$: левая часть $\frac{8}{|2|} = 4$; правая часть $2^2 = 4$. Равенство верно.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения. В силу симметрии, $x=-2$ также является корнем. Проверим:
Для $x=-2$: левая часть $\frac{8}{|-2|} = 4$; правая часть $(-2)^2 = 4$. Равенство верно.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

в) $ \frac{3}{|x|} = x + 1 $

Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{|x|}$ и $y = x + 1$.

1. График функции $y = \frac{3}{|x|}$ — симметричная относительно оси Oy кривая в первой и второй четвертях.
Контрольные точки для $x > 0$: (1, 3), (3, 1).
Контрольные точки для $x < 0$: (-1, 3), (-3, 1).

2. График функции $y = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (-1, 0).

3. Построим оба графика. Прямая пересекает правую ветвь ($x > 0$) графика $y = \frac{3}{|x|}$ в одной точке. Левую ветвь ($x < 0$) прямая не пересекает, так как при $x \in (-1, 0)$ прямая находится ниже кривой, а при $x \le -1$ прямая принимает неположительные значения, в то время как $y = \frac{3}{|x|}$ всегда строго положителен.
Абсцисса точки пересечения в первой четверти является единственным решением уравнения. Из графика видно, что корень находится между 1 и 2, приблизительно $x \approx 1.3$.

Проверка:
Левая часть: $\frac{3}{|1.3|} = \frac{3}{1.3} \approx 2.31$.
Правая часть: $1.3 + 1 = 2.3$.
Значения очень близки.

Ответ: $x \approx 1.3$.

г) $ x^2 = \frac{5}{|x|} $

Это уравнение эквивалентно уравнению $\frac{5}{|x|} = x^2$. Для его графического решения построим графики функций $y = \frac{5}{|x|}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{5}{|x|}$ симметричен относительно оси Oy.
При $x > 0$ имеем $y = \frac{5}{x}$. Контрольные точки: (1, 5), (2, 2.5), (5, 1).
При $x < 0$ имеем $y = -\frac{5}{x}$. Контрольные точки: (-1, 5), (-2, 2.5), (-5, 1).

2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх. Контрольные точки: (1, 1), (2, 4), (-1, 1), (-2, 4).

3. Построим графики на одной плоскости. Мы видим две точки пересечения, симметричные относительно оси Oy, так как обе функции четные.
Найдем положительный корень. Точка пересечения в первой четверти имеет абсциссу между 1 и 2. Чтобы найти ее точнее, можно заметить, что нужно решить уравнение $x^3 = 5$ для $x>0$, откуда $x = \sqrt[3]{5}$.
Поскольку $1^3=1$ и $2^3=8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Приблизительное значение: $\sqrt[3]{5} \approx 1.7$.
Проверка: $1.7^3 = 4.913 \approx 5$.
Таким образом, из графика находим приблизительный корень $x_2 \approx 1.7$. Второй корень, в силу симметрии, будет $x_1 \approx -1.7$.

Ответ: $x_1 \approx -1.7, x_2 \approx 1.7$.