Номер 697, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 697, страница 156.

697. Найдите значения переменной $y$, при которых:

а) сумма дробей $\frac{6}{y+1}$ и $\frac{y}{y-2}$ равна их произведению;

б) сумма дробей $\frac{2}{y-3}$ и $\frac{6}{y+3}$ равна их частному;

в) разность дробей $\frac{y+12}{y-4}$ и $\frac{y}{y+4}$ равна их произведению.

а)

Согласно условию, сумма дробей $ \frac{6}{y+1} $ и $ \frac{y}{y-2} $ равна их произведению. Составим и решим уравнение.

$ \frac{6}{y+1} + \frac{y}{y-2} = \frac{6}{y+1} \cdot \frac{y}{y-2} $

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной y определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $ y+1 \neq 0 \implies y \neq -1 $ и $ y-2 \neq 0 \implies y \neq 2 $.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $ (y+1)(y-2) $:
$ \frac{6(y-2) + y(y+1)}{(y+1)(y-2)} = \frac{6y}{(y+1)(y-2)} $

Поскольку знаменатели в обеих частях уравнения равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$ 6(y-2) + y(y+1) = 6y $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 6y - 12 + y^2 + y = 6y $
$ y^2 + 7y - 12 = 6y $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ y^2 + 7y - 6y - 12 = 0 $
$ y^2 + y - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -12. Следовательно, корни уравнения:
$ y_1 = -4 $, $ y_2 = 3 $.

Оба корня (-4 и 3) принадлежат области допустимых значений, так как не равны -1 и 2.

Ответ: -4; 3.

б)

По условию, сумма дробей $ \frac{2}{y-3} $ и $ \frac{6}{y+3} $ равна их частному (результату деления первой дроби на вторую). Составим уравнение:

$ \frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3} $

ОДЗ: знаменатели не равны нулю $ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $ и $ y+3 \neq 0 \implies y \neq -3 $. Также делитель не должен быть равен нулю, но дробь $ \frac{6}{y+3} $ не равна нулю, так как ее числитель 6 отличен от нуля.

Преобразуем правую часть уравнения (деление дробей):
$ \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} \cdot \frac{y+3}{6} = \frac{2(y+3)}{6(y-3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Уравнение принимает вид:
$ \frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (y-3)(y+3) $:
$ \frac{2(y+3) + 6(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $
$ \frac{2y+6+6y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $
$ \frac{8y-12}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 3(y-3)(y+3) $, чтобы избавиться от дробей:
$ 3(8y-12) = (y+3)(y+3) $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$ 24y - 36 = y^2 + 6y + 9 $
$ y^2 + 6y - 24y + 9 + 36 = 0 $
$ y^2 - 18y + 45 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 18, а произведение 45. Корни:
$ y_1 = 3 $, $ y_2 = 15 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ y \neq 3 $, $ y \neq -3 $). Корень $ y = 3 $ является посторонним. Корень $ y = 15 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 15.

в)

По условию, разность дробей $ \frac{y+12}{y-4} $ и $ \frac{y}{y+4} $ равна их произведению. Составим уравнение:

$ \frac{y+12}{y-4} - \frac{y}{y+4} = \frac{y+12}{y-4} \cdot \frac{y}{y+4} $

ОДЗ: знаменатели не равны нулю $ y-4 \neq 0 \implies y \neq 4 $ и $ y+4 \neq 0 \implies y \neq -4 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (y-4)(y+4) $:
$ \frac{(y+12)(y+4) - y(y-4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)} $

Приравняем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:
$ (y+12)(y+4) - y(y-4) = y(y+12) $

Раскроем скобки и упростим:
$ (y^2 + 4y + 12y + 48) - (y^2 - 4y) = y^2 + 12y $
$ y^2 + 16y + 48 - y^2 + 4y = y^2 + 12y $
$ 20y + 48 = y^2 + 12y $

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ y^2 + 12y - 20y - 48 = 0 $
$ y^2 - 8y - 48 = 0 $

Решим уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 8, произведение -48. Корни:
$ y_1 = 12 $, $ y_2 = -4 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ y \neq 4 $, $ y \neq -4 $). Корень $ y = -4 $ является посторонним. Корень $ y = 12 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 12.