Номер 691, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 691, страница 155.

691. Найдите координаты точек пересечения с осью x графика функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{2x - 5}{x + 3}$;

б) $y = \frac{(x - 4)(3x - 15)}{x - 9}$

в) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$;

г) $y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3}$.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осью x, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю и решить полученное уравнение относительно x. Координата y в точках пересечения с осью x всегда равна 0.

а) $ y = \frac{2x - 5}{x + 3} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{2x - 5}{x + 3} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} 2x - 5 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим x: $2x = 5 \implies x = 2.5$.

Проверяем второе условие: $2.5 + 3 = 5.5 \neq 0$. Условие выполняется.

Следовательно, график функции пересекает ось x в одной точке с координатами $(2.5, 0)$.

Ответ: $(2.5, 0)$.

б) $ y = \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} (x-4)(3x-15) = 0 \\ x - 9 \neq 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

$3x - 15 = 0 \implies 3x = 15 \implies x_2 = 5$

Проверяем второе условие: $x \neq 9$. Оба найденных корня ($4 \neq 9$ и $5 \neq 9$) удовлетворяют этому условию.

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью x: $(4, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: $(4, 0), (5, 0)$.

в) $ y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $

Решаем квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверяем второе условие: $x \neq 2$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет этому условию, так как при $x=2$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это не точка пересечения (в данной точке на графике функции будет разрыв - "выколотая" точка).

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 - 2 = 1 \neq 0$).

Таким образом, существует только одна точка пересечения с осью x: $(3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$.

г) $ y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 7x + 12) = 0$

Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.

Затем решаем квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.

Таким образом, числитель равен нулю при $x=0, x=3$ и $x=4$.

Проверяем второе условие: $x \neq 3$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \neq 3$).

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию, так как при $x=3$ знаменатель равен нулю.

Корень $x_3 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \neq 3$).

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью x: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 0), (4, 0)$.