Номер 687, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 687, страница 154.

687. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 8x + k = 0$, причём $3x_1 + 4x_2 = 29$. Найдите $k$.

Решение

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + k = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для такого уравнения по теореме Виета справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = k$.

Также, по условию задачи, дано еще одно уравнение, связывающее корни: $3x_1 + 4x_2 = 29$.

Получаем систему из двух линейных уравнений с неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ 3x_1 + 4x_2 = 29 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x_1$ из первого уравнения: $x_1 = 8 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(8 - x_2) + 4x_2 = 29$

Раскроем скобки и найдем $x_2$:

$24 - 3x_2 + 4x_2 = 29$

$24 + x_2 = 29$

$x_2 = 29 - 24 = 5$

Теперь найдем $x_1$, подставив значение $x_2$ в выражение $x_1 = 8 - x_2$:

$x_1 = 8 - 5 = 3$

Итак, мы определили корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Чтобы найти $k$, воспользуемся формулой для произведения корней из теоремы Виета:

$k = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: $15$