Номер 683, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 683, страница 154.

683. Выразите через p и q сумму квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.
Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
Нам необходимо найти сумму квадратов корней, то есть выражение $x_1^2 + x_2^2$.
Для этого преобразуем искомое выражение, выделив в нем полный квадрат суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2$
Сгруппировав первые три слагаемых, получим формулу квадрата суммы:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней из теоремы Виета:
$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2(q)$
Упростим полученное выражение:
$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$
Таким образом, сумма квадратов корней уравнения выражается через его коэффициенты как $p^2 - 2q$.

Ответ: $p^2 - 2q$