Номер 689, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 689, страница 154.

689. Известно, что уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для этого уравнения, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

Нам нужно составить новое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $y_1 = \frac{x_1}{x_2}$ и $y_2 = \frac{x_2}{x_1}$.

Для составления нового приведенного квадратного уравнения вида $y^2 + P'y + Q' = 0$ воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Коэффициенты $P'$ и $Q'$ связаны с новыми корнями $y_1$ и $y_2$ следующим образом:

• $P' = -(y_1 + y_2)$
• $Q' = y_1 y_2$

Сначала найдем сумму новых корней $y_1 + y_2$, выразив ее через коэффициенты $p$ и $q$ исходного уравнения.

$y_1 + y_2 = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Чтобы выразить числитель $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся известным тождеством: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим значения $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$

Подставим это выражение обратно в формулу для суммы новых корней:

$y_1 + y_2 = \frac{p^2 - 2q}{q}$

Заметим, что для существования корней $\frac{x_1}{x_2}$ и $\frac{x_2}{x_1}$ необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$. Это означает, что их произведение $x_1 x_2 = q$ также не равно нулю ($q \neq 0$).

Далее найдем произведение новых корней $y_1 y_2$:

$y_1 y_2 = \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1$

Теперь мы можем составить искомое приведенное квадратное уравнение, подставив найденные значения суммы и произведения корней:

$y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$

$y^2 - \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + 1 = 0$

Чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами (если $p$ и $q$ - целые), можно умножить обе части уравнения на $q$:

$q \cdot y^2 - q \cdot \left(\frac{p^2 - 2q}{q}\right)y + q \cdot 1 = 0$

$qy^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $qy^2 - (p^2 - 2q)y + q = 0$ (где $y$ - переменная нового уравнения).