Страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

690. Решите уравнение:

а) $\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4;$

б) $\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2;$

в) $\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1;$

г) $\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3;$

д) $\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2};$

е) $\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4};$

ж) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)};$

з) $\frac{x+2}{x+3} + \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}.$

а) $\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $6(x-1)$, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ:
$(x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1)$
$x^2 - 1 + 120 = 24(x-1)$
$x^2 + 119 = 24x - 24$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 24x + 119 + 24 = 0$
$x^2 - 24x + 143 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 - 572 = 4$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 2}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 2}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
Оба корня ($11$ и $13$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 1$).
Ответ: $11; 13$.

б) $\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2$

ОДЗ: $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $4(x+2)$:
$(x+15)(x+2) - 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2)$
$x^2 + 2x + 15x + 30 - 84 = 8(x+2)$
$x^2 + 17x - 54 = 8x + 16$
$x^2 + 17x - 8x - 54 - 16 = 0$
$x^2 + 9x - 70 = 0$
Решим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -9$ и $x_1 \cdot x_2 = -70$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -14$.
Либо через дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.
Оба корня ($5$ и $-14$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ne -2$).
Ответ: $-14; 5$.

в) $\frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1$

ОДЗ: $x-1 \ne 0$ и $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$:
$12(x+1) - 8(x-1) = 1 \cdot (x-1)(x+1)$
$12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1$
$4x + 20 = x^2 - 1$
$x^2 - 4x - 21 = 0$
Решим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -3$.
Либо через дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.
$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Оба корня ($7$ и $-3$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-3; 7$.

г) $\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3$

ОДЗ: $x-3 \ne 0$ и $1-x \ne 0$, то есть $x \ne 3$ и $x \ne 1$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(1-x)$:
$16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x)$
$16 - 16x + 30x - 90 = 3(x - x^2 - 3 + 3x)$
$14x - 74 = 3(-x^2 + 4x - 3)$
$14x - 74 = -3x^2 + 12x - 9$
$3x^2 + 14x - 12x - 74 + 9 = 0$
$3x^2 + 2x - 65 = 0$
Решим через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-65) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.
$x_1 = \frac{-2 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$.
Оба корня ($-5$ и $\frac{13}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-5; \frac{13}{3}$.

д) $\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2}$

ОДЗ: $1-x \ne 0$ и $1+x \ne 0$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne -1$. Заметим, что $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $1-x^2$:
$3(1+x) + 1(1-x) = 28$
$3 + 3x + 1 - x = 28$
$2x + 4 = 28$
$2x = 24$
$x = 12$.
Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $12$.

е) $\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}$

ОДЗ: $x-2 \ne 0$ и $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$ и $x \ne -2$. Заметим, что $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x^2-4$:
$5(x+2) - 3(x-2) = 20$
$5x + 10 - 3x + 6 = 20$
$2x + 16 = 20$
$2x = 4$
$x = 2$.
Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатели дробей $\frac{5}{x-2}$ и $\frac{20}{x^2-4}$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: нет корней.

ж) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)}$

ОДЗ: $x+1 \ne 0$ и $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne -1$ и $x \ne 2$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x-2)$:
$(x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29$
$(x^2 - 4) + (x^2 + x + 3x + 3) = 29$
$x^2 - 4 + x^2 + 4x + 3 = 29$
$2x^2 + 4x - 1 = 29$
$2x^2 + 4x - 30 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Решим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Оба корня ($3$ и $-5$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-5; 3$.

з) $\frac{x+2}{x+3} + \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}$

ОДЗ: $x+3 \ne 0$ и $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne -3$ и $x \ne 1$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+3)(x-1)$:
$(x+2)(x-1) + (x+1)(x+3) = 4$
$(x^2 - x + 2x - 2) + (x^2 + 3x + x + 3) = 4$
$(x^2 + x - 2) + (x^2 + 4x + 3) = 4$
$2x^2 + 5x + 1 = 4$
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Решим через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.
$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.
Корень $x_1 = 0,5$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатели дробей $\frac{x+2}{x+3}$ и $\frac{4}{(x+3)(x-1)}$ обращаются в ноль. Это посторонний корень.
Ответ: $0,5$.

691. Найдите координаты точек пересечения с осью x графика функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{2x - 5}{x + 3}$;

б) $y = \frac{(x - 4)(3x - 15)}{x - 9}$

в) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$;

г) $y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3}$.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осью x, необходимо приравнять значение функции (y) к нулю и решить полученное уравнение относительно x. Координата y в точках пересечения с осью x всегда равна 0.

а) $ y = \frac{2x - 5}{x + 3} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{2x - 5}{x + 3} = 0 $

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе:

$ \begin{cases} 2x - 5 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим x: $2x = 5 \implies x = 2.5$.

Проверяем второе условие: $2.5 + 3 = 5.5 \neq 0$. Условие выполняется.

Следовательно, график функции пересекает ось x в одной точке с координатами $(2.5, 0)$.

Ответ: $(2.5, 0)$.

б) $ y = \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} (x-4)(3x-15) = 0 \\ x - 9 \neq 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$

$3x - 15 = 0 \implies 3x = 15 \implies x_2 = 5$

Проверяем второе условие: $x \neq 9$. Оба найденных корня ($4 \neq 9$ и $5 \neq 9$) удовлетворяют этому условию.

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью x: $(4, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: $(4, 0), (5, 0)$.

в) $ y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $

Решаем квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверяем второе условие: $x \neq 2$.

Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет этому условию, так как при $x=2$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это не точка пересечения (в данной точке на графике функции будет разрыв - "выколотая" точка).

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию ($3 - 2 = 1 \neq 0$).

Таким образом, существует только одна точка пересечения с осью x: $(3, 0)$.

Ответ: $(3, 0)$.

г) $ y = \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} $

Приравниваем y к нулю:

$ \frac{x^3 - 7x^2 + 12x}{x - 3} = 0 $

Решаем систему:

$ \begin{cases} x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} $

Решаем первое уравнение. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 7x + 12) = 0$

Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.

Затем решаем квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 3$ и $x_3 = 4$.

Таким образом, числитель равен нулю при $x=0, x=3$ и $x=4$.

Проверяем второе условие: $x \neq 3$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 \neq 3$).

Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию, так как при $x=3$ знаменатель равен нулю.

Корень $x_3 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \neq 3$).

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью x: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 0), (4, 0)$.

692. При каком значении x:

a) значение функции $y = \frac{5x-7}{x^2+1}$ равно -6; 0; 0,8; 0,56;

б) значение функции $y = \frac{x^2-2x+6}{x+4}$ равно 1,5; 3; 7?

а) Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \frac{5x - 7}{x^2 + 1}$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения для каждого случая.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно -6.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = -6$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 1$, который всегда положителен:

$5x - 7 = -6(x^2 + 1)$

$5x - 7 = -6x^2 - 6$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Вычисляем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 7}{12}$.

$x_1 = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что выполняется всегда для $x^2+1$):

$5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5} = 1,4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0,8.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,8$

$5x - 7 = 0,8(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,8x^2 + 0,8$

$0,8x^2 - 5x + 7,8 = 0$

Умножим все члены на 5 для удобства вычислений:

$4x^2 - 25x + 39 = 0$

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625 - 624 = 1$.

$x_{1,2} = \frac{25 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{25 \pm 1}{8}$.

$x_1 = \frac{25 + 1}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3,25$

$x_2 = \frac{25 - 1}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 0,56.

$\frac{5x - 7}{x^2 + 1} = 0,56$

$5x - 7 = 0,56(x^2 + 1)$

$5x - 7 = 0,56x^2 + 0,56$

$0,56x^2 - 5x + 7,56 = 0$

Умножим все члены на 100, а затем разделим на 4:

$56x^2 - 500x + 756 = 0 \implies 14x^2 - 125x + 189 = 0$.

$D = (-125)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 189 = 15625 - 10584 = 5041 = 71^2$.

$x_{1,2} = \frac{125 \pm 71}{2 \cdot 14} = \frac{125 \pm 71}{28}$.

$x_1 = \frac{125 + 71}{28} = \frac{196}{28} = 7$

$x_2 = \frac{125 - 71}{28} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}$

Ответ: значение функции равно -6 при $x = -1$ или $x = \frac{1}{6}$; равно 0 при $x = 1,4$; равно 0,8 при $x = 3$ или $x = 3,25$; равно 0,56 при $x = 7$ или $x = \frac{27}{14}$.

б) Для того чтобы найти, при каких значениях $x$ функция $y = \frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4}$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения для каждого случая, учитывая область допустимых значений $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 1,5.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 1,5$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 1,5x + 6$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3,5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 3.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 3$

$x^2 - 2x + 6 = 3(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 3x + 12$

$x^2 - 5x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Рассмотрим случай, когда значение функции равно 7.

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = 7$

$x^2 - 2x + 6 = 7(x + 4)$

$x^2 - 2x + 6 = 7x + 28$

$x^2 - 9x - 22 = 0$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

$x_{1,2} = \frac{9 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11$

$x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2$

Оба корня удовлетворяют условию $x \neq -4$.

Ответ: значение функции равно 1,5 при $x = 0$ или $x = 3,5$; равно 3 при $x = 6$ или $x = -1$; равно 7 при $x = 11$ или $x = -2$.

693. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

a) $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$;

б) $y = \frac{x^2 - 5x}{x+3}$ и $y = 2x$.

а) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x + 3$ и $y = \frac{34}{x-5}$, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:
$2x + 3 = \frac{34}{x-5}$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Умножим обе части уравнения на $(x-5)$, чтобы избавиться от дроби:
$(2x + 3)(x - 5) = 34$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x^2 - 10x + 3x - 15 = 34$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - 7x - 15 - 34 = 0$
$2x^2 - 7x - 49 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-49) = 49 + 392 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждой точки пересечения, подставив значения $x$ в одну из исходных функций, например, в $y = 2x + 3$:
При $x_1 = 7$: $y_1 = 2 \cdot 7 + 3 = 14 + 3 = 17$.
При $x_2 = -3.5$: $y_2 = 2 \cdot (-3.5) + 3 = -7 + 3 = -4$.
Координаты точек пересечения: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.
Ответ: $(7, 17)$ и $(-3.5, -4)$.

б) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x^2 - 5x}{x + 3}$ и $y = 2x$, приравняем выражения для $y$:
$\frac{x^2 - 5x}{x + 3} = 2x$
Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Умножим обе части уравнения на $(x+3)$:
$x^2 - 5x = 2x(x + 3)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x = 2x^2 + 6x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2x^2 - x^2 + 6x + 5x$
$x^2 + 11x = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:
$x(x + 11) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 11 = 0 \Rightarrow x_2 = -11$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в более простую функцию $y = 2x$:
При $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
При $x_2 = -11$: $y_2 = 2 \cdot (-11) = -22$.
Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.
Ответ: $(0, 0)$ и $(-11, -22)$.

694. Решите графически уравнение:

а) $ \frac{6}{|x|} = 1,5x - 2;$

б) $ \frac{8}{|x|} = x^2;$

в) $ \frac{3}{|x|} = x + 1;$

г) $ x^2 = \frac{5}{|x|}.$

а) $ \frac{6}{|x|} = 1.5x - 2 $

Для графического решения этого уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{6}{|x|}$ и $y = 1.5x - 2$.

1. График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).
При $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Контрольные точки: (1, 6), (2, 3), (3, 2).
При $x < 0$ функция принимает вид $y = \frac{6}{-x} = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Контрольные точки: (-1, 6), (-2, 3), (-3, 2).

2. График функции $y = 1.5x - 2$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:
Если $x=0$, то $y = 1.5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
Если $x=2$, то $y = 1.5 \cdot 2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка (2, 1).

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке, которая находится в первой четверти. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Из графика видно, что корень уравнения находится между 2 и 3, и он приблизительно равен 2.8.

Проверка:
Левая часть: $\frac{6}{|2.8|} = \frac{6}{2.8} \approx 2.14$.
Правая часть: $1.5 \cdot 2.8 - 2 = 4.2 - 2 = 2.2$.
Значения близки, что подтверждает правильность графической оценки.

Ответ: $x \approx 2.8$.

б) $ \frac{8}{|x|} = x^2 $

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{|x|}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{8}{|x|}$ симметричен относительно оси Oy.
При $x > 0$ имеем $y = \frac{8}{x}$ (ветвь гиперболы в первой четверти). Контрольные точки: (1, 8), (2, 4), (4, 2).
При $x < 0$ имеем $y = -\frac{8}{x}$ (ветвь гиперболы во второй четверти). Контрольные точки: (-1, 8), (-2, 4), (-4, 2).

2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Контрольные точки: (0, 0), (1, 1), (2, 4), (-1, 1), (-2, 4).

3. Построим графики. Мы видим, что они пересекаются в двух точках. Так как обе функции четные, абсциссы точек пересечения будут противоположными числами.
Найдем положительный корень. Из графиков видно, что точка пересечения в первой четверти имеет координаты (2, 4). Проверим:
Для $x=2$: левая часть $\frac{8}{|2|} = 4$; правая часть $2^2 = 4$. Равенство верно.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения. В силу симметрии, $x=-2$ также является корнем. Проверим:
Для $x=-2$: левая часть $\frac{8}{|-2|} = 4$; правая часть $(-2)^2 = 4$. Равенство верно.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

в) $ \frac{3}{|x|} = x + 1 $

Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{3}{|x|}$ и $y = x + 1$.

1. График функции $y = \frac{3}{|x|}$ — симметричная относительно оси Oy кривая в первой и второй четвертях.
Контрольные точки для $x > 0$: (1, 3), (3, 1).
Контрольные точки для $x < 0$: (-1, 3), (-3, 1).

2. График функции $y = x + 1$ — это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (-1, 0).

3. Построим оба графика. Прямая пересекает правую ветвь ($x > 0$) графика $y = \frac{3}{|x|}$ в одной точке. Левую ветвь ($x < 0$) прямая не пересекает, так как при $x \in (-1, 0)$ прямая находится ниже кривой, а при $x \le -1$ прямая принимает неположительные значения, в то время как $y = \frac{3}{|x|}$ всегда строго положителен.
Абсцисса точки пересечения в первой четверти является единственным решением уравнения. Из графика видно, что корень находится между 1 и 2, приблизительно $x \approx 1.3$.

Проверка:
Левая часть: $\frac{3}{|1.3|} = \frac{3}{1.3} \approx 2.31$.
Правая часть: $1.3 + 1 = 2.3$.
Значения очень близки.

Ответ: $x \approx 1.3$.

г) $ x^2 = \frac{5}{|x|} $

Это уравнение эквивалентно уравнению $\frac{5}{|x|} = x^2$. Для его графического решения построим графики функций $y = \frac{5}{|x|}$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \frac{5}{|x|}$ симметричен относительно оси Oy.
При $x > 0$ имеем $y = \frac{5}{x}$. Контрольные точки: (1, 5), (2, 2.5), (5, 1).
При $x < 0$ имеем $y = -\frac{5}{x}$. Контрольные точки: (-1, 5), (-2, 2.5), (-5, 1).

2. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх. Контрольные точки: (1, 1), (2, 4), (-1, 1), (-2, 4).

3. Построим графики на одной плоскости. Мы видим две точки пересечения, симметричные относительно оси Oy, так как обе функции четные.
Найдем положительный корень. Точка пересечения в первой четверти имеет абсциссу между 1 и 2. Чтобы найти ее точнее, можно заметить, что нужно решить уравнение $x^3 = 5$ для $x>0$, откуда $x = \sqrt[3]{5}$.
Поскольку $1^3=1$ и $2^3=8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Приблизительное значение: $\sqrt[3]{5} \approx 1.7$.
Проверка: $1.7^3 = 4.913 \approx 5$.
Таким образом, из графика находим приблизительный корень $x_2 \approx 1.7$. Второй корень, в силу симметрии, будет $x_1 \approx -1.7$.

Ответ: $x_1 \approx -1.7, x_2 \approx 1.7$.

695. Найдите корни уравнения:

а) $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2}; $

б) $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2}. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{x\sqrt{3} + \sqrt{2}}{x\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{3} - \sqrt{2}}{x\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $.
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $x\sqrt{3} - \sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{3} \neq \sqrt{2} \implies x \neq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies x \neq \frac{\sqrt{6}}{3}$.
2. $x\sqrt{3} + \sqrt{2} \neq 0 \implies x\sqrt{3} \neq -\sqrt{2} \implies x \neq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \implies x \neq -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
3. $3x^2 - 2 \neq 0 \implies 3x^2 \neq 2 \implies x^2 \neq \frac{2}{3} \implies x \neq \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \implies x \neq \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Теперь упростим левую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем: $(x\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3x^2 - 2$.
Преобразуем левую часть:
$ \frac{(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(3x^2 + 2x\sqrt{6} + 2) + (3x^2 - 2x\sqrt{6} + 2)}{3x^2 - 2} = \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} $.
Можно было также использовать формулу $(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$, где $a=x\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$: $2((x\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2) = 2(3x^2+2) = 6x^2+4$.
Теперь наше уравнение выглядит так:
$ \frac{6x^2 + 4}{3x^2 - 2} = \frac{10x}{3x^2 - 2} $
Поскольку знаменатели одинаковы и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$ 6x^2 + 4 = 10x $
$ 6x^2 - 10x + 4 = 0 $
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $
$ x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5+1}{6} = 1 $
$ x_{2} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Оба найденных корня, $1$ и $\frac{2}{3}$, входят в область допустимых значений.
Ответ: $1; \frac{2}{3}$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{1 - y\sqrt{5}}{1 + y\sqrt{5}} + \frac{1 + y\sqrt{5}}{1 - y\sqrt{5}} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $y$.
1. $1 + y\sqrt{5} \neq 0 \implies y\sqrt{5} \neq -1 \implies y \neq -\frac{1}{\sqrt{5}} \implies y \neq -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
2. $1 - y\sqrt{5} \neq 0 \implies y\sqrt{5} \neq 1 \implies y \neq \frac{1}{\sqrt{5}} \implies y \neq \frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. $1 - 5y^2 \neq 0 \implies 5y^2 \neq 1 \implies y^2 \neq \frac{1}{5} \implies y \neq \pm\sqrt{\frac{1}{5}} \implies y \neq \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
ОДЗ: $y \neq \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(1 + y\sqrt{5})(1 - y\sqrt{5}) = 1^2 - (y\sqrt{5})^2 = 1 - 5y^2$.
Преобразуем числитель левой части:
$ (1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2 $
Используем формулу $(a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2)$, где $a=1$ и $b=y\sqrt{5}$:
$ 2(1^2 + (y\sqrt{5})^2) = 2(1 + 5y^2) = 2 + 10y^2 $.
Уравнение принимает вид:
$ \frac{2 + 10y^2}{1 - 5y^2} = \frac{9y}{1 - 5y^2} $
Приравниваем числители:
$ 2 + 10y^2 = 9y $
$ 10y^2 - 9y + 2 = 0 $
Решаем квадратное уравнение. Вычисляем дискриминант:
$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1 $
$ y_{1} = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9+1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $
$ y_{2} = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{9-1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $
Оба корня, $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{5}$, удовлетворяют ОДЗ, так как $\frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.447$, а наши корни равны $0.5$ и $0.4$.
Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{5}$.