Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

636. Докажите, что:

а) $ \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} + \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} = 22; $

б) $ \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = 18. $

а)

Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель представляет собой произведение знаменателей исходных дробей: $(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30})$.

Для вычисления знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей, подставив вычисленный общий знаменатель:
$\frac{1}{11+2\sqrt{30}} + \frac{1}{11-2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11-2\sqrt{30}) + 1 \cdot (11+2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} = \frac{11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30}}{1} = \frac{22}{1} = 22$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 22, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.

б)

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$.

Вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение. Числитель первой дроби умножим на $(\sqrt{5}+2)$, а второй — на $(\sqrt{5}-2)$:
$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} + \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{(\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5}-2)^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе по формулам квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.
$(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

Подставим полученные выражения обратно в числитель и вычислим его значение:
$\frac{(9+4\sqrt{5}) + (9-4\sqrt{5})}{1} = \frac{9+4\sqrt{5} + 9-4\sqrt{5}}{1} = \frac{18}{1} = 18$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 18, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Доказано.

637. Найдите значение выражения:

а) $\frac{xy}{x+y}$ при $x=5+2\sqrt{6}$, $y=5-2\sqrt{6}$;

б) $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}$, $y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{xy}{x+y}$ при $x = 5+2\sqrt{6}$ и $y = 5-2\sqrt{6}$, сначала вычислим отдельно числитель и знаменатель.

1. Найдем сумму $x+y$ (знаменатель):
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 5+5+2\sqrt{6}-2\sqrt{6} = 10$.

2. Найдем произведение $xy$ (числитель). Заметим, что $x$ и $y$ являются сопряженными выражениями, поэтому их произведение можно вычислить по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}$ и $y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$, сначала преобразуем числитель и вычислим вспомогательные значения.

1. Упростим выражение. Можно заметить, что числитель $x^2+y^2$ можно выразить через сумму и произведение $x$ и $y$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Выражение примет вид: $\frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x+y)^2}{xy} - 2$.

2. Найдем сумму $x+y$:
$x+y = (\sqrt{11}+\sqrt{3}) + (\sqrt{11}-\sqrt{3}) = \sqrt{11}+\sqrt{11}+\sqrt{3}-\sqrt{3} = 2\sqrt{11}$.

3. Найдем произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$xy = (\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11-3=8$.

4. Теперь подставим значения $x+y$ и $xy$ в преобразованное выражение:
$\frac{(x+y)^2}{xy} - 2 = \frac{(2\sqrt{11})^2}{8} - 2 = \frac{4 \cdot 11}{8} - 2 = \frac{44}{8} - 2 = \frac{11}{2} - 2 = 5.5 - 2 = 3.5$.

Альтернативный способ:
Сначала найти $x^2+y^2$ и $xy$, а затем их частное.
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2\sqrt{11})^2 - 2 \cdot 8 = 44 - 16 = 28$.
$xy = 8$.
$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$

638. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения $x^2 - 10x + q = 0$ равна 6.

Рассмотрим заданное квадратное уравнение $x^2 - 10x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для данного приведенного квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

По условию задачи, разность корней равна 6. Это можно записать как $|x_1 - x_2| = 6$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(x_1 - x_2)^2 = 6^2 = 36$.

Существует тождество, которое связывает квадрат разности корней с их суммой и произведением: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения из теоремы Виета и условия задачи:
$36 = (10)^2 - 4 \cdot q$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$36 = 100 - 4q$
$4q = 100 - 36$
$4q = 64$
$q = \frac{64}{4}$
$q = 16$

Для проверки найдем корни уравнения при $q = 16$. Уравнение принимает вид $x^2 - 10x + 16 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2$
Разность корней $x_1 - x_2 = 8 - 2 = 6$, что соответствует условию.

Ответ: 16.

639. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

a) $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$;

б) $2-\sqrt{3}$ и $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$.

Чтобы составить приведенное квадратное уравнение ($x^2 + px + q = 0$), зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$). Таким образом, уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

а) Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

2. Найдем произведение корней. В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:

$x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2} = 0$.

Чтобы избавиться от дроби в коэффициенте, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2}) = 2 \cdot 0$

$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.

Ответ: $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$

б) Корни уравнения: $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.

1. Упростим второй корень $x_2$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2+\sqrt{3}$:

$x_2 = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3}$.

Теперь мы имеем корни $x_1 = 2-\sqrt{3}$ и $x_2 = 2+\sqrt{3}$.

2. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3} = 4$.

3. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов:

$x_1 \cdot x_2 = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1$.

4. Подставим найденные значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:

$x^2 - 4x + 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

1 Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.

Пример целого уравнения
Целым уравнением называется такое уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями (многочленами). Основной признак целого уравнения заключается в том, что оно не содержит деления на выражение с переменной. К таким уравнениям относятся линейные, квадратные, кубические и другие полиномиальные уравнения.
В качестве примера рассмотрим следующее квадратное уравнение: $2x^2 + 5x - 3 = 0$
Это целое уравнение, поскольку переменная $x$ не находится в знаменателе дроби, а обе части уравнения (левая — многочлен, правая — число 0) являются целыми выражениями.
Ответ: $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Пример дробного рационального уравнения
Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одна из его частей является дробным выражением, то есть содержит переменную в знаменателе дроби. При решении таких уравнений необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) — множество всех значений переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не обращаются в ноль.
В качестве примера приведем следующее уравнение: $\frac{x}{x-4} - \frac{5}{x+1} = 1$
Это дробное рациональное уравнение, так как переменная $x$ присутствует в знаменателях дробей ($x-4$ и $x+1$). Область допустимых значений для этого уравнения определяется условиями $x-4 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 4$ и $x \neq -1$.
Ответ: $\frac{x}{x-4} - \frac{5}{x+1} = 1$.

2 На примере уравнения $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Дробное рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная содержится в знаменателе дроби. Чтобы решить такое уравнение, необходимо выполнить следующие шаги: во-первых, найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной, исключив значения, обращающие знаменатели в ноль. Во-вторых, найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в уравнении. В-третьих, умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей и получить целое уравнение. В-четвертых, решить полученное целое уравнение. И, наконец, в-пятых, проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ, и отбросить посторонние корни, если они есть.

Продемонстрируем этот алгоритм на примере уравнения: $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$

Шаг 1. Находим область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые приводят к делению на ноль.
1. Знаменатель $x^2 - 1 \neq 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Знаменатель $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
3. Знаменатель $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Объединяя все условия, получаем, что область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $1$ и $-1$.

Шаг 2. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Знаменатели в уравнении: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$, $x-1$ и $x+1$.
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для всех дробей является выражение $(x-1)(x+1)$.

Шаг 3. Умножаем обе части уравнения на НОЗ

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части исходного уравнения на НОЗ, то есть на $(x-1)(x+1)$, при условии, что оно не равно нулю (это условие мы уже учли в ОДЗ).
$\frac{6}{(x-1)(x+1)} \cdot (x-1)(x+1) - 1 \cdot (x-1)(x+1) = \frac{2}{x-1} \cdot (x-1)(x+1) - \frac{3}{x+1} \cdot (x-1)(x+1)$
После сокращения дробей на соответствующие множители в знаменателях, мы получаем целое уравнение:
$6 - (x-1)(x+1) = 2(x+1) - 3(x-1)$

Шаг 4. Решаем полученное целое уравнение

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
$6 - (x^2 - 1) = 2x + 2 - 3x + 3$
$6 - x^2 + 1 = -x + 5$
$7 - x^2 = -x + 5$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = x^2 - x + 5 - 7$
$x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма равна $1$. Эти числа — $2$ и $-1$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Шаг 5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ

Мы получили два потенциальных решения: $x=2$ и $x=-1$. Теперь необходимо сопоставить их с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq -1$. Следовательно, это действительный корень уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $x^2-1$ и $x+1$ обращаются в ноль. Следовательно, $x=-1$ — это посторонний корень, который необходимо отбросить.

Таким образом, исходное дробное рациональное уравнение имеет только одно решение.

Ответ: $x=2$.