Страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

644. Решите относительно $x$ уравнение:

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0;$

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0.$

а) $x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант. Коэффициенты уравнения (где $A$ - коэффициент при $x^2$, $B$ - при $x$, $C$ - свободный член) равны:

$A = 1$, $B = -5a$, $C = 4a^2$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2) = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2$.

Так как $a^2$ всегда больше или равно нулю, дискриминант $D = 9a^2$ также всегда неотрицателен ($D \ge 0$). Это означает, что уравнение имеет действительные корни при любом значении параметра $a$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-5a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5a \pm 3a}{2}$.

Теперь найдем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a$.

$x_2 = \frac{5a - 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Ответ: $x_1 = a$, $x_2 = 4a$.

б) $3x^2 - 10ax + 3a^2 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Решим его аналогичным способом, найдя дискриминант. Коэффициенты уравнения:

$A = 3$, $B = -10a$, $C = 3a^2$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-10a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (3a^2) = 100a^2 - 36a^2 = 64a^2$.

Дискриминант $D = 64a^2$ всегда неотрицателен, следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-10a) \pm \sqrt{64a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10a \pm 8a}{6}$.

Вычислим два корня:

$x_1 = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a$.

$x_2 = \frac{10a - 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$.

Ответ: $x_1 = 3a$, $x_2 = \frac{a}{3}$.

645. При каких значениях параметра $t$ имеет единственный корень уравнение:

а) $3x^2 + tx + 3 = 0;$

б) $2x^2 - tx + 50 = 0;$

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0;$

г) $tx^2 + x - 2 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо рассмотреть два общих случая для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Если уравнение является квадратным (т.е. коэффициент $a \neq 0$), оно имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю ($D = b^2 - 4ac = 0$).
2. Если уравнение вырождается в линейное (т.е. коэффициент $a = 0$), оно будет иметь единственный корень, если коэффициент $b \neq 0$.

Применим эти правила к каждому из заданных уравнений.

а) $3x^2 + tx + 3 = 0$

В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен 3, он не равен нулю, следовательно, уравнение всегда является квадратным. Единственный корень будет при условии, что дискриминант равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=t$, $c=3$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36$.
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $t$:
$t^2 - 36 = 0$
$t^2 = 36$
$t_1 = 6$, $t_2 = -6$.
Ответ: $t = -6$ или $t = 6$.

б) $2x^2 - tx + 50 = 0$

Коэффициент при $x^2$ равен 2, он не равен нулю, поэтому уравнение всегда является квадратным. Единственный корень будет при условии, что дискриминант равен нулю.
Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-t$, $c=50$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 - 400$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$t^2 - 400 = 0$
$t^2 = 400$
$t_1 = 20$, $t_2 = -20$.
Ответ: $t = -20$ или $t = 20$.

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю.
Коэффициенты: $a=t$, $b=-6$, $c=1$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot t \cdot 1 = 36 - 4t$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$36 - 4t = 0$
$4t = 36$
$t = 9$.
Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.
Случай 2: $t = 0$.
Уравнение становится линейным. Подставим $t=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$
$-6x + 1 = 0$
$-6x = -1$
$x = 1/6$.
При $t=0$ уравнение имеет единственный корень.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $t$.
Ответ: $t = 0$ или $t = 9$.

г) $tx^2 + x - 2 = 0$

Коэффициент при $x^2$ в этом уравнении также зависит от параметра $t$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Единственный корень будет при $D=0$.
Коэффициенты: $a=t$, $b=1$, $c=-2$.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$1 + 8t = 0$
$8t = -1$
$t = -1/8$.
Это значение удовлетворяет условию $t \neq 0$.
Случай 2: $t = 0$.
Уравнение становится линейным. Подставим $t=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 + x - 2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$.
При $t=0$ уравнение имеет единственный корень.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $t$.
Ответ: $t = 0$ или $t = -1/8$.

646. Выясните, при каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения

$$x^2 - ax + a - 3 = 0$$

принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 - ax + a - 3 = 0$.

Чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 3) = a^2 - 4a + 12$.

Чтобы определить знак этого выражения, рассмотрим его как квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 4a + 12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $a_v = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение в вершине $f(2) = 2^2 - 4(2) + 12 = 4 - 8 + 12 = 8$.

Поскольку минимальное значение дискриминанта равно 8, что больше нуля, дискриминант положителен при любом значении параметра $a$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для нашего уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-a)/1 = a$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = (a-3)/1 = a - 3$

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета, чтобы получить зависимость суммы квадратов от параметра $a$:

$S(a) = (a)^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6$.

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $S(a) = a^2 - 2a + 6$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Координата вершины по оси $a$ находится по формуле $a_{вершины} = - \frac{b}{2a_{коэфф}}$, где $b$ и $a_{коэфф}$ - коэффициенты параболы $S(a)$.

$a_{вершины} = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Следовательно, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Найдем это наименьшее значение, подставив $a=1$ в функцию $S(a)$:

$S_{min} = S(1) = 1^2 - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5$.

Ответ: Сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a = 1$, и это значение равно 5.

647. Решите относительно x уравнение

$(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0.$

Данное уравнение $(a - 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0$ содержит параметр $a$. Решение зависит от значения этого параметра, так как от него зависит, является ли уравнение квадратным.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при $a - 1 = 0$, то есть при $a=1$.

При $a=1$ уравнение принимает вид:

$(1 - 1)x^2 + 2(1)x + 1 + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0$

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

Таким образом, при $a=1$ уравнение является линейным и имеет единственный корень $x = -1$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. В этом случае уравнение является квадратным.

Для нахождения корней квадратного уравнения вычислим его дискриминант $D$. Коэффициенты уравнения: $A = a-1$, $B = 2a$, $C = a+1$.

$D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(a-1)(a+1) = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4$.

Поскольку дискриминант $D = 4 > 0$, при любом $a \neq 1$ уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем эти корни по общей формуле для корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x_{1,2} = \frac{-2a \pm \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a \pm 2}{2(a-1)} = \frac{2(-a \pm 1)}{2(a-1)} = \frac{-a \pm 1}{a-1}$

Вычислим каждый корень отдельно:

Первый корень:

$x_1 = \frac{-a + 1}{a-1} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-a - 1}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$

Итак, при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

Объединяя полученные результаты, формулируем окончательный ответ.

Ответ: при $a=1$ уравнение имеет один корень $x=-1$; при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня $x_1=-1$ и $x_2 = -\frac{a+1}{a-1}$.

648. Решите уравнение с параметром k:

$x^2 - (4k + 1)x + 2(2k^2 + k - 3) = 0.$

Данное уравнение $x^2 - (4k + 1)x + 2(2k^2 + k - 3) = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $x$.

Оно имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами:

$a = 1$

$b = -(4k + 1)$

$c = 2(2k^2 + k - 3)$

Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-(4k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot [2(2k^2 + k - 3)] = (4k + 1)^2 - 8(2k^2 + k - 3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (16k^2 + 8k + 1) - (16k^2 + 8k - 24)$

$D = 16k^2 + 8k + 1 - 16k^2 - 8k + 24$

$D = 25$

Так как дискриминант $D = 25 > 0$ и его значение постоянно и не зависит от параметра $k$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении $k$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-(4k + 1)) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4k + 1 \pm 5}{2}$

Вычислим каждый из двух корней:

$x_1 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = 2k + 3$

$x_2 = \frac{4k + 1 - 5}{2} = \frac{4k - 4}{2} = 2k - 2$

Ответ: $x_1 = 2k + 3, x_2 = 2k - 2$.

649. Выясните, при каких значениях параметра b равна 7 сумма корней уравнения

$y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0.$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $y$: $y^2 - (2b - 1)y + b^2 - b - 2 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты при степенях $y$ равны:

• коэффициент при $y^2$: $a = 1$
• коэффициент при $y$: $k = -(2b - 1)$
• свободный член: $c = b^2 - b - 2$

$D = k^2 - 4ac = (-(2b - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - b - 2)$

$D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b - 2) = (4b^2 - 4b + 1) - (4b^2 - 4b - 8)$

$D = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8 = 9$

Поскольку дискриминант $D = 9$ является положительным числом, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $b$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $y_1$ и $y_2$ квадратного уравнения $ay^2+ky+c=0$ равна $-k/a$.

Для нашего уравнения сумма корней равна:

$y_1 + y_2 = -\frac{-(2b-1)}{1} = 2b - 1$

По условию задачи, сумма корней равна 7. Составим и решим уравнение относительно $b$:

$2b - 1 = 7$

$2b = 7 + 1$

$2b = 8$

$b = \frac{8}{2}$

$b = 4$

Ответ: 4.

650. Решите уравнение:

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13;$

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24;$

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25);$

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1.6x^2(5x - 2).$

а) $(x + 2)^2 + (x - 3)^2 = 13$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 13$

$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) = 13$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 9) = 13$

$2x^2 - 2x + 13 = 13$

Перенесем число 13 из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x^2 - 2x + 13 - 13 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Решая каждое из этих простых уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Ответ: $0; 1$.

б) $(3x - 5)^2 - (2x + 1)^2 = 24$

Можно решить это уравнение двумя способами: раскрыть скобки или использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Воспользуемся первым способом.

Раскроем скобки по формулам квадрата разности и квадрата суммы:

$((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2) - ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 24$

$(9x^2 - 30x + 25) - (4x^2 + 4x + 1) = 24$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$9x^2 - 30x + 25 - 4x^2 - 4x - 1 = 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 4x^2) + (-30x - 4x) + (25 - 1) = 24$

$5x^2 - 34x + 24 = 24$

Перенесем 24 из правой части в левую:

$5x^2 - 34x + 24 - 24 = 0$

$5x^2 - 34x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 34) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5x - 34 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 0$

$5x = 34 \implies x_2 = \frac{34}{5} = 6,8$

Ответ: $0; 6,8$.

в) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) + 28 = x^2(x - 25)$

В левой части уравнения узнаем формулу разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=4$.

$(x - 4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(x^3 - 64) + 28 = x^2(x - 25)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$x^3 - 36 = x^3 - 25x^2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Можно заметить, что $x^3$ взаимно уничтожается:

$x^3 - x^3 + 25x^2 = 36$

$25x^2 = 36$

Разделим обе части на 25:

$x^2 = \frac{36}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, не забывая про знак $\pm$:

$x = \pm\sqrt{\frac{36}{25}}$

$x = \pm\frac{6}{5}$

$x_1 = 1,2$, $x_2 = -1,2$

Ответ: $-1,2; 1,2$.

г) $(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

В левой части уравнения применим формулу суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Здесь $a=2x$ и $b=1$.

$(2x + 1)((2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(8x^3 + 1) - 1 = 1,6x^2(5x - 2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части:

$8x^3 = 1,6x^2 \cdot 5x - 1,6x^2 \cdot 2$

$8x^3 = 8x^3 - 3,2x^2$

Перенесем $8x^3$ из правой части в левую:

$8x^3 - 8x^3 = -3,2x^2$

$0 = -3,2x^2$

Отсюда следует, что:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

651. Решите относительно $x$ уравнение:

а) $x^2 = a$;

б) $x^2 = a^2$;

В) $x^2 + 4b = 0$;

Г) $x^2 + 9b^2 = 0$.

а) $x^2 = a$

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x = \pm\sqrt{a}$.

2. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$. Единственным корнем этого уравнения является $x = 0$.

3. Если $a < 0$, правая часть уравнения отрицательна. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt{a}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a < 0$, то действительных корней нет.

б) $x^2 = a^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения: $x^2 - a^2 = 0$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$:

$(x - a)(x + a) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

$x - a = 0$, что дает корень $x = a$.

$x + a = 0$, что дает корень $x = -a$.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $a$ и $-a$. Это решение можно записать в виде $x = \pm a$. Данное решение справедливо для любого значения $a$. В случае если $a=0$, оба корня совпадают и равны 0.

Ответ: $x = \pm a$.

в) $x^2 + 4b = 0$

Выразим $x^2$ из уравнения, получив $x^2 = -4b$.

Решение этого уравнения зависит от знака параметра $b$.

1. Если $b < 0$, то выражение $-4b$ является положительным. В этом случае уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}$.

2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда следует, что $x = 0$.

3. Если $b > 0$, то выражение $-4b$ является отрицательным. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $b < 0$, то $x = \pm 2\sqrt{-b}$; если $b = 0$, то $x = 0$; если $b > 0$, то действительных корней нет.

г) $x^2 + 9b^2 = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^2 = -9b^2$.

Рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$.

Правая часть, $-9b^2$, всегда неположительна, поскольку $b^2 \ge 0$ для любого действительного $b$.

Равенство вида "неотрицательное число = неположительное число" возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

То есть, $x^2 = 0$ и $-9b^2 = 0$ должны выполняться одновременно.

Из $x^2 = 0$ следует, что $x = 0$.

Из $-9b^2 = 0$ следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение $x = 0$ только при условии, что $b = 0$. Если же $b \neq 0$, то правая часть становится строго отрицательной, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $b = 0$, то $x = 0$; если $b \neq 0$, то действительных корней нет.

652. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

а) $a^2 + 4a + 11;$

б) $\frac{x^2 - 2x + 7}{19};$

в) $m^2 - 4m + 51;$

г) $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1};$

д) $2b^2 - 8b + 20;$

е) $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}.$

а) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + 4a + 11$ положительно при любом значении $a$, выделим в нем полный квадрат. Формула полного квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим выражение в виде:

$a^2 + 4a + 11 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 4 + 7 = (a^2 + 4a + 4) + 7$

Свернем первые три слагаемых по формуле квадрата суммы:

$(a+2)^2 + 7$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a+2)^2 \ge 0$ при любом $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+2)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения будет $0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и все выражение $(a+2)^2 + 7$ всегда будет больше нуля.

Ответ: Выражение $a^2 + 4a + 11 = (a+2)^2 + 7$, а так как $(a+2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения равно 7, что доказывает его положительность при любом $a$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2x + 7}{19}$. Знаменатель дроби, 19, является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, необходимо доказать, что числитель $x^2 - 2x + 7$ также всегда положителен.

Выделим полный квадрат в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$x^2 - 2x + 7 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1 + 6 = (x^2 - 2x + 1) + 6$

Свернем первые три слагаемых:

$(x-1)^2 + 6$

Так как $(x-1)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то наименьшее значение числителя равно $0 + 6 = 6$.

Поскольку числитель всегда больше или равен 6 (то есть положителен), а знаменатель равен 19 (положителен), то их частное всегда будет положительным.

Ответ: Числитель дроби $x^2 - 2x + 7 = (x-1)^2 + 6 \ge 6 > 0$, знаменатель 19 > 0, следовательно, вся дробь положительна при любом $x$.

в) Для выражения $m^2 - 4m + 51$ выделим полный квадрат:

$m^2 - 4m + 51 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 4 + 47 = (m^2 - 4m + 4) + 47$

Свернем по формуле квадрата разности:

$(m-2)^2 + 47$

Выражение $(m-2)^2$ всегда неотрицательно: $(m-2)^2 \ge 0$.

Значит, наименьшее значение всего выражения достигается при $m=2$ и равно $0 + 47 = 47$.

Так как $47 > 0$, выражение $m^2 - 4m + 51$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $m^2 - 4m + 51 = (m-2)^2 + 47 \ge 47 > 0$, что доказывает его положительность при любом $m$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{p^2 - 6p + 18}{p^2 + 1}$.

Сначала проанализируем знаменатель $p^2 + 1$. Так как $p^2 \ge 0$ для любого $p$, то $p^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Знаменатель всегда положителен.

Теперь проанализируем числитель $p^2 - 6p + 18$. Выделим в нем полный квадрат:

$p^2 - 6p + 18 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 3 + 9 + 9 = (p^2 - 6p + 9) + 9$

Свернем по формуле квадрата разности:

$(p-3)^2 + 9$

Так как $(p-3)^2 \ge 0$, то наименьшее значение числителя равно $0 + 9 = 9$. Числитель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, их частное также всегда будет положительным.

Ответ: Числитель $(p-3)^2 + 9 \ge 9 > 0$, знаменатель $p^2 + 1 \ge 1 > 0$. Частное двух положительных выражений всегда положительно.

д) Для доказательства положительности выражения $2b^2 - 8b + 20$ вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем выделим полный квадрат.

$2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 10)$

Рассмотрим выражение в скобках $b^2 - 4b + 10$:

$b^2 - 4b + 10 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2 + 4 + 6 = (b^2 - 4b + 4) + 6$

Сворачиваем в квадрат разности:

$(b-2)^2 + 6$

Так как $(b-2)^2 \ge 0$, то $(b-2)^2 + 6 \ge 0 + 6 = 6$. Выражение в скобках всегда положительно.

Исходное выражение равно $2((b-2)^2 + 6)$. Его наименьшее значение будет $2 \cdot 6 = 12$.

Так как $12 > 0$, выражение $2b^2 - 8b + 20$ всегда положительно.

Ответ: Выражение $2b^2 - 8b + 20 = 2((b-2)^2 + 6) \ge 2 \cdot 6 = 12 > 0$, следовательно, оно всегда положительно.

е) Рассмотрим дробное выражение $\frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40}$.

Проанализируем числитель $2c^2 + 3$. Поскольку $c^2 \ge 0$ для любого $c$, то $2c^2 \ge 0$. Следовательно, $2c^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Числитель всегда положителен.

Теперь проанализируем знаменатель $c^2 + 12c + 40$. Выделим в нем полный квадрат:

$c^2 + 12c + 40 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 6 + 36 + 4 = (c^2 + 12c + 36) + 4$

Свернем по формуле квадрата суммы:

$(c+6)^2 + 4$

Так как $(c+6)^2 \ge 0$, то наименьшее значение знаменателя равно $0 + 4 = 4$. Знаменатель всегда положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, то их частное также всегда будет положительным.

Ответ: Числитель $2c^2 + 3 \ge 3 > 0$, знаменатель $c^2 + 12c + 40 = (c+6)^2 + 4 \ge 4 > 0$. Частное двух положительных выражений всегда положительно.