Страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

709. Автобус проехал расстояние между пунктами $A$ и $B$, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт $A$, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из $A$ в $B$. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

Обозначим постоянную скорость автобуса как $v$ км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно 400 км.

Время, затраченное на путь из A в B, можно выразить формулой: $t_{АВ} = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ часов.

На обратном пути автобус ехал 2 часа со скоростью $v$, преодолев расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км. Оставшееся расстояние составляет $S_2 = 400 - 2v$ км. Это расстояние автобус проехал с увеличенной скоростью, равной $(v + 10)$ км/ч.

Время, затраченное на вторую часть обратного пути, равно $t_2 = \frac{S_2}{v+10} = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов. Общее время, затраченное на обратный путь из B в A, складывается из времени на первом и втором участках: $t_{БА} = 2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 20 минут меньше, чем на путь из A в B. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа. Таким образом, мы можем составить уравнение: $t_{АВ} - t_{БА} = \frac{1}{3}$

Подставим выражения для $t_{АВ}$ и $t_{БА}$ в уравнение: $\frac{400}{v} - \left(2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}\right) = \frac{1}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$: $\frac{400}{v} - 2 - \frac{400 - 2v}{v + 10} = \frac{1}{3}$ $\frac{400}{v} - \frac{400 - 2v}{v + 10} = 2 + \frac{1}{3}$ $\frac{400(v + 10) - v(400 - 2v)}{v(v + 10)} = \frac{7}{3}$ $\frac{400v + 4000 - 400v + 2v^2}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$ $\frac{2v^2 + 4000}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(2v^2 + 4000) = 7(v^2 + 10v)$ $6v^2 + 12000 = 7v^2 + 70v$ $v^2 + 70v - 12000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$ $\sqrt{D} = \sqrt{52900} = 230$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$ $v_2 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, начальная скорость автобуса была $v = 80$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на обратный путь. Сначала вычислим время на путь из A в B: $t_{АВ} = \frac{400}{80} = 5$ часов.

На обратный путь было затрачено на 20 минут меньше: $t_{БА} = 5 \text{ часов} - 20 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 40 \text{ минут}$.

Проверим результат, используя вторую формулу для $t_{БА}$: $t_{БА} = 2 + \frac{400 - 2 \cdot 80}{80 + 10} = 2 + \frac{400 - 160}{90} = 2 + \frac{240}{90} = 2 + \frac{24}{9} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$ часа. $\frac{14}{3}$ часа = $4 \frac{2}{3}$ часа = 4 часа и $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут. Результаты совпадают.

Ответ: 4 часа 40 минут.

710. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на $10 \text{ км/ч}$ и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста, а $S$ (км) — расстояние между городами.

Согласно условию, путь из одного города в другой был пройден за 4 часа. Это можно выразить формулой: $S = v \cdot 4$

На обратный путь мотоциклист затратил на 30 минут больше, то есть $4 \text{ ч} + 30 \text{ мин} = 4.5$ часа. Обратный путь состоял из двух участков:

1. Первые 100 км он ехал с той же скоростью $v$. Время на этом участке: $t_1 = \frac{100}{v}$.

2. Оставшееся расстояние $(S - 100)$ км он ехал со скоростью, уменьшенной на 10 км/ч, то есть $(v - 10)$ км/ч. Время на этом участке: $t_2 = \frac{S - 100}{v - 10}$.

Сумма времени на этих двух участках равна общему времени обратного пути: $\frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10} = 4.5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $S = 4v$
2. $\frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10} = 4.5$

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе: $\frac{100}{v} + \frac{4v - 100}{v - 10} = 4.5$

Для решения уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $

711. Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на $4\frac{1}{2}$ ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть $v$ км/ч — скорость автомобиля, выехавшего из города А. Тогда, согласно условию, скорость автомобиля, выехавшего из города В, равна $(v + 10)$ км/ч.

Согласно первому условию, автомобили выехали одновременно и встретились через 5 часов. За это время они совместно преодолели всё расстояние $S$ между городами. Суммарное расстояние, пройденное обоими автомобилями, равно произведению их скорости сближения на время в пути. Скорость сближения равна $v + (v + 10) = 2v + 10$ км/ч. Таким образом, расстояние между городами можно выразить формулой:

$S = (2v + 10) \cdot 5 = 10v + 50$

Далее рассмотрим второе условие. Если бы автомобиль из А выехал на $4\frac{1}{2} = 4.5$ часа раньше, встреча произошла бы в 150 км от города В. Это означает, что автомобиль, выехавший из В, проехал 150 км. Время, которое он затратил на этот путь, составляет:

$t_B = \frac{150}{v + 10}$ часов.

Автомобиль из А был в пути на 4.5 часа дольше, то есть его время в пути $t_A = t_B + 4.5 = \frac{150}{v + 10} + 4.5$ часов. За это время он проехал расстояние, равное $S - 150$ км. Составим уравнение:

$S - 150 = v \cdot \left(\frac{150}{v + 10} + 4.5\right)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $S$ из первого уравнения ($S = 10v + 50$) во второе:

$(10v + 50) - 150 = v \cdot \left(\frac{150}{v + 10} + 4.5\right)$

$10v - 100 = \frac{150v}{v + 10} + 4.5v$

Приведем подобные слагаемые:

$5.5v - 100 = \frac{150v}{v + 10}$

Умножим обе части уравнения на $(v + 10)$ (скорость $v$ положительна, поэтому $v+10 \ne 0$):

$(5.5v - 100)(v + 10) = 150v$

$5.5v^2 + 55v - 100v - 1000 = 150v$

$5.5v^2 - 45v - 1000 - 150v = 0$

$5.5v^2 - 195v - 1000 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$11v^2 - 390v - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-390)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-2000) = 152100 + 88000 = 240100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{240100} = 490$.

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-(-390) + 490}{2 \cdot 11} = \frac{390 + 490}{22} = \frac{880}{22} = 40$

$v_2 = \frac{-(-390) - 490}{2 \cdot 11} = \frac{390 - 490}{22} = -\frac{100}{22}$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, второй корень не является решением задачи. Следовательно, скорость автомобиля из А равна $v = 40$ км/ч.

Зная скорость $v$, найдем искомое расстояние $S$ между городами А и В, используя выведенную ранее формулу:

$S = 10v + 50 = 10 \cdot 40 + 50 = 400 + 50 = 450$ км.

Ответ: 450 км.

712. Расстояние от пристани $M$ до пристани $N$ по течению реки катер проходит за $6 \text{ ч}$. Однажды, не дойдя $40 \text{ км}$ до пристани $N$, катер повернул назад и возвратился к пристани $M$, затратив на весь путь $9 \text{ ч}$. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

Пусть $v_к$ км/ч — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — скорость течения реки. По условию задачи $v_т = 2$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна $v_к + v_т = v_к + 2$ км/ч. Скорость катера против течения реки равна $v_к - v_т = v_к - 2$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_к > 2$.

Пусть $S$ км — расстояние от пристани $M$ до пристани $N$. Катер проходит это расстояние по течению за 6 часов. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим первое уравнение: $S = (v_к + 2) \cdot 6$

Согласно второму условию, катер прошел от пристани $M$ в сторону пристани $N$, не дойдя до нее 40 км, повернул обратно и вернулся к пристани $M$. Это означает, что катер прошел расстояние, равное $S - 40$ км, по течению, а затем такое же расстояние $S - 40$ км против течения.

Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S - 40}{v_к + 2}$ ч. Время, затраченное на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S - 40}{v_к - 2}$ ч. Общее время этого путешествия составило 9 часов, т.е. $t_1 + t_2 = 9$. Составим второе уравнение: $\frac{S - 40}{v_к + 2} + \frac{S - 40}{v_к - 2} = 9$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными $S$ и $v_к$: $ \begin{cases} S = 6(v_к + 2) \\ \frac{S - 40}{v_к + 2} + \frac{S - 40}{v_к - 2} = 9 \end{cases} $

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе: $\frac{6(v_к + 2) - 40}{v_к + 2} + \frac{6(v_к + 2) - 40}{v_к - 2} = 9$

Упростим числитель в дробях: $6(v_к + 2) - 40 = 6v_к + 12 - 40 = 6v_к - 28$

Уравнение примет вид: $\frac{6v_к - 28}{v_к + 2} + \frac{6v_к - 28}{v_к - 2} = 9$

Вынесем общий множитель $(6v_к - 28)$ за скобки: $(6v_к - 28) \left( \frac{1}{v_к + 2} + \frac{1}{v_к - 2} \right) = 9$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(v_к + 2)(v_к - 2) = v_к^2 - 4$: $\frac{1}{v_к + 2} + \frac{1}{v_к - 2} = \frac{(v_к - 2) + (v_к + 2)}{(v_к + 2)(v_к - 2)} = \frac{2v_к}{v_к^2 - 4}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение: $(6v_к - 28) \cdot \frac{2v_к}{v_к^2 - 4} = 9$

Теперь решим это уравнение относительно $v_к$: $\frac{(6v_к - 28)(2v_к)}{v_к^2 - 4} = 9$
$12v_к^2 - 56v_к = 9(v_к^2 - 4)$
$12v_к^2 - 56v_к = 9v_к^2 - 36$
$12v_к^2 - 9v_к^2 - 56v_к + 36 = 0$
$3v_к^2 - 56v_к + 36 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Теперь найдем значения $v_к$: $v_{к1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{108}{6} = 18$
$v_{к2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $v_к > 2$. Корень $v_{к1} = 18$ удовлетворяет условию, так как $18 > 2$. Корень $v_{к2} = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} < 2$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения.

Следовательно, собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

713. Мотоциклист проехал расстояние от пункта $M$ до пункта $N$ за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта $M$ в пункт $N$?

Пусть первоначальная скорость мотоциклиста равна $v$ км/ч.Расстояние от пункта М до пункта N мотоциклист проехал за 5 часов, следовательно, это расстояние $S$ равно:$S = 5 \times v$ км.

На обратном пути мотоциклист затратил на 15 минут меньше. Переведем 15 минут в часы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{обр} = 5 - \frac{1}{4} = 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$ часа.

Обратный путь состоит из двух участков:
1. Первый участок: расстояние 36 км, скорость $v$ км/ч. Время, затраченное на этом участке: $t_1 = \frac{36}{v}$ ч.
2. Второй участок: расстояние $S - 36 = 5v - 36$ км, скорость $v + 3$ км/ч. Время, затраченное на этом участке: $t_2 = \frac{5v - 36}{v + 3}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времен на двух участках:$t_{обр} = t_1 + t_2$

Составим уравнение, подставив известные значения и выражения:$\frac{36}{v} + \frac{5v - 36}{v + 3} = \frac{19}{4}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+3)$:$\frac{36(v + 3) + v(5v - 36)}{v(v + 3)} = \frac{19}{4}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{36v + 108 + 5v^2 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Упростим числитель:$\frac{5v^2 + 108}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$4(5v^2 + 108) = 19(v^2 + 3v)$$20v^2 + 432 = 19v^2 + 57v$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$20v^2 - 19v^2 - 57v + 432 = 0$$v^2 - 57v + 432 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-57)^2 - 4 \times 1 \times 432 = 3249 - 1728 = 1521$$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 39}{2} = \frac{96}{2} = 48$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 39}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба корня положительны. Проверим, удовлетворяют ли они условию задачи. Длина второго участка обратного пути ($5v - 36$) должна быть положительной, так как мотоциклист проехал "остальную часть пути".$5v - 36 > 0 \implies 5v > 36 \implies v > 7.2$.Оба найденных значения скорости ($v_1=48$ и $v_2=9$) больше 7.2, следовательно, оба являются решениями задачи.

Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.

714. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — длина шага сына в метрах. Так как шаг отца на 20 см (0.2 м) длиннее, то его длина составляет $(x + 0.2)$ м.

Оба прошли одинаковое расстояние — 240 м. Расстояние равно произведению длины шага на количество шагов. Отсюда можно выразить количество шагов для каждого:

• Количество шагов сына: $n_{сына} = \frac{240}{x}$
• Количество шагов отца: $n_{отца} = \frac{240}{x + 0.2}$

По условию, отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Составим уравнение:$n_{сына} - n_{отца} = 100$

Подставим выражения для количества шагов в это уравнение:$\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 0.2} = 100$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{240(x + 0.2) - 240x}{x(x + 0.2)} = 100$$\frac{240x + 48 - 240x}{x^2 + 0.2x} = 100$$\frac{48}{x^2 + 0.2x} = 100$

Теперь избавимся от знаменателя:$48 = 100(x^2 + 0.2x)$$48 = 100x^2 + 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$100x^2 + 20x - 48 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 4:$25x^2 + 5x - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 5^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225$$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Теперь найдем возможные значения для $x$:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{30}{50} = 0.6$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-40}{50} = -0.8$

Поскольку длина шага не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x = 0.6$.Таким образом, длина шага сына составляет 0.6 метра (или 60 см).

Длина шага отца равна:$x + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8$ метра (или 80 см).

Ответ: длина шага сына — 60 см, длина шага отца — 80 см.

715. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество костюмов, которое вторая мастерская шила в день.

Согласно условию, первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая. Значит, производительность первой мастерской составляет $(x + 10)$ костюмов в день.

Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов. Вторая мастерская должна была сшить на 25% меньше. Найдем количество костюмов для второй мастерской: $160 - 160 \cdot 0.25 = 160 - 40 = 120$ костюмов.

Пусть $T$ — это намеченный срок выполнения задания в днях.

Первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Время, которое она затратила, равно $(T - 2)$ дня. Это время можно выразить через объем работы и производительность: $T - 2 = \frac{160}{x + 10}$. Отсюда можно выразить плановый срок: $T = \frac{160}{x + 10} + 2$.

Второй мастерской для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня. Время, которое она затратила, равно $(T + 2)$ дня. Выразим это время через ее объем работы и производительность: $T + 2 = \frac{120}{x}$. Отсюда также выразим плановый срок: $T = \frac{120}{x} - 2$.

Поскольку плановый срок $T$ для обеих мастерских одинаков, мы можем приравнять выражения для $T$: $\frac{160}{x + 10} + 2 = \frac{120}{x} - 2$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем числа в одну сторону, а дроби в другую: $2 + 2 = \frac{120}{x} - \frac{160}{x + 10}$ $4 = \frac{120(x + 10) - 160x}{x(x + 10)}$ $4 = \frac{120x + 1200 - 160x}{x^2 + 10x}$ $4 = \frac{1200 - 40x}{x^2 + 10x}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 10x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$: $4(x^2 + 10x) = 1200 - 40x$ $4x^2 + 40x = 1200 - 40x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 40x + 40x - 1200 = 0$ $4x^2 + 80x - 1200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения: $x^2 + 20x - 300 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 400 + 1200 = 1600$ $\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-20 + 40}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-20 - 40}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку $x$ представляет собой количество костюмов, сшитых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -30$ не является решением задачи.

Единственное подходящее решение — $x = 10$. Таким образом, вторая мастерская шила 10 костюмов в день.

Ответ: 10 костюмов.

716. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество пылесосов, которое бригада должна была изготовлять в день по плану (плановая норма), а $t$ — запланированный срок выполнения работы в днях.

Согласно плану, за $t$ дней бригада должна была изготовить 768 пылесосов. Это условие можно записать в виде уравнения:
$x \cdot t = 768$

Из этого уравнения мы можем выразить плановый срок $t$ через плановую норму $x$:
$t = \frac{768}{x}$

По факту, первые 5 дней бригада работала с плановой производительностью $x$ и изготовила $5x$ пылесосов.

Затем производительность бригады увеличилась, и они стали изготовлять на 6 пылесосов больше, то есть $(x+6)$ пылесосов в день.

Работа была завершена на 1 день раньше срока, то есть общее время работы составило $(t-1)$ дней. Период работы с повышенной производительностью составил $(t-1) - 5 = (t-6)$ дней.

За этот период было изготовлено $(t-6)(x+6)$ пылесосов.

Всего за $(t-1)$ день было изготовлено 844 пылесоса. Составим уравнение, описывающее фактическое выполнение работы:
$5x + (t-6)(x+6) = 844$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $t$, которое мы получили ранее ($t = \frac{768}{x}$):
$5x + (\frac{768}{x} - 6)(x+6) = 844$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$5x + \frac{768}{x} \cdot x + \frac{768}{x} \cdot 6 - 6x - 36 = 844$
$5x + 768 + \frac{4608}{x} - 6x - 36 = 844$

Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 6x) + (768 - 36) + \frac{4608}{x} = 844$
$-x + 732 + \frac{4608}{x} = 844$

Перенесем число 732 в правую часть уравнения:
$-x + \frac{4608}{x} = 844 - 732$
$-x + \frac{4608}{x} = 112$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$. Так как $x$ — это дневная норма, $x$ не может быть равен нулю ($x > 0$).
$-x^2 + 4608 = 112x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 112x - 4608 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 112^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4608) = 12544 + 18432 = 30976$
$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-112 - 176}{2} = \frac{-288}{2} = -144$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-112 + 176}{2} = \frac{64}{2} = 32$

Корень $x_1 = -144$ не имеет физического смысла, так как количество произведенных пылесосов не может быть отрицательным. Следовательно, единственное подходящее решение — $x_2 = 32$.

Таким образом, по плану бригада должна была изготовлять 32 пылесоса в день.

Ответ: 32 пылесоса.