Номер 713, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 713, страница 158.

713. Мотоциклист проехал расстояние от пункта $M$ до пункта $N$ за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта $M$ в пункт $N$?

Пусть первоначальная скорость мотоциклиста равна $v$ км/ч.Расстояние от пункта М до пункта N мотоциклист проехал за 5 часов, следовательно, это расстояние $S$ равно:$S = 5 \times v$ км.

На обратном пути мотоциклист затратил на 15 минут меньше. Переведем 15 минут в часы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Время, затраченное на обратный путь, составляет:$t_{обр} = 5 - \frac{1}{4} = 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4}$ часа.

Обратный путь состоит из двух участков:
1. Первый участок: расстояние 36 км, скорость $v$ км/ч. Время, затраченное на этом участке: $t_1 = \frac{36}{v}$ ч.
2. Второй участок: расстояние $S - 36 = 5v - 36$ км, скорость $v + 3$ км/ч. Время, затраченное на этом участке: $t_2 = \frac{5v - 36}{v + 3}$ ч.

Общее время на обратный путь равно сумме времен на двух участках:$t_{обр} = t_1 + t_2$

Составим уравнение, подставив известные значения и выражения:$\frac{36}{v} + \frac{5v - 36}{v + 3} = \frac{19}{4}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+3)$:$\frac{36(v + 3) + v(5v - 36)}{v(v + 3)} = \frac{19}{4}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{36v + 108 + 5v^2 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Упростим числитель:$\frac{5v^2 + 108}{v^2 + 3v} = \frac{19}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$4(5v^2 + 108) = 19(v^2 + 3v)$$20v^2 + 432 = 19v^2 + 57v$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$20v^2 - 19v^2 - 57v + 432 = 0$$v^2 - 57v + 432 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-57)^2 - 4 \times 1 \times 432 = 3249 - 1728 = 1521$$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 + 39}{2} = \frac{96}{2} = 48$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 - 39}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба корня положительны. Проверим, удовлетворяют ли они условию задачи. Длина второго участка обратного пути ($5v - 36$) должна быть положительной, так как мотоциклист проехал "остальную часть пути".$5v - 36 > 0 \implies 5v > 36 \implies v > 7.2$.Оба найденных значения скорости ($v_1=48$ и $v_2=9$) больше 7.2, следовательно, оба являются решениями задачи.

Ответ: 48 км/ч или 9 км/ч.