Номер 710, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

710. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на $10 \text{ км/ч}$ и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

1. Из первой части условия известно, что путь из города в город занял 4 часа. Можем выразить расстояние через скорость: $$S = 4v$$

2. Разберем обратный путь:

• Первые 100 км он ехал со скоростью $v$. Время на этот участок: $t_1 = \frac{100}{v}$.
• Оставшийся путь составляет $(S - 100)$ км. Его он ехал со скоростью $(v - 10) \text{ км/ч}$. Время на этот участок: $t_2 = \frac{S - 100}{v - 10}$.

3. Общее время на обратный путь на 30 минут ($0,5$ часа) больше, чем на путь туда, то есть $4 + 0,5 = 4,5$ часа. Составим уравнение: $$\frac{100}{v} + \frac{S - 100}{v - 10} = 4,5$$

4. Подставим $S = 4v$ в уравнение: $$\frac{100}{v} + \frac{4v - 100}{v - 10} = 4,5$$

5. Приведем к общему знаменателю $v(v - 10)$ и решим уравнение: $$100(v - 10) + v(4v - 100) = 4,5v(v - 10)$$ $$100v - 1000 + 4v^2 - 100v = 4,5v^2 - 45v$$ $$4v^2 - 1000 = 4,5v^2 - 45v$$ $$0,5v^2 - 45v + 1000 = 0$$

Умножим всё на 2 для удобства: $$v^2 - 90v + 2000 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $D = (-90)^2 - 4 \cdot 2000 = 8100 - 8000 = 100$ $$v_1 = \frac{90 + 10}{2} = 50, \quad v_2 = \frac{90 - 10}{2} = 40$$

6. Проверим корни. Если $v = 40$, то на обратном пути он проехал первые 100 км, но всё расстояние $S = 4 \cdot 40 = 160$ км. Скорость на втором участке была бы $40 - 10 = 30$. Если $v = 50$, то $S = 4 \cdot 50 = 200$ км.

Оба значения математически подходят, но обычно в таких задачах подразумевается одно решение. Проверим расстояние $S$: Если $v = 50$, то $S = 4 \cdot 50 = 200$ км. Если $v = 40$, то $S = 4 \cdot 40 = 160$ км.

Ответ: 200 км или 160 км.