Номер 715, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 715, страница 158.

715. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество костюмов, которое вторая мастерская шила в день.

Согласно условию, первая мастерская шила в день на 10 костюмов больше, чем вторая. Значит, производительность первой мастерской составляет $(x + 10)$ костюмов в день.

Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов. Вторая мастерская должна была сшить на 25% меньше. Найдем количество костюмов для второй мастерской: $160 - 160 \cdot 0.25 = 160 - 40 = 120$ костюмов.

Пусть $T$ — это намеченный срок выполнения задания в днях.

Первая мастерская выполнила задание за 2 дня до намеченного срока. Время, которое она затратила, равно $(T - 2)$ дня. Это время можно выразить через объем работы и производительность: $T - 2 = \frac{160}{x + 10}$. Отсюда можно выразить плановый срок: $T = \frac{160}{x + 10} + 2$.

Второй мастерской для выполнения задания понадобилось дополнительно 2 дня. Время, которое она затратила, равно $(T + 2)$ дня. Выразим это время через ее объем работы и производительность: $T + 2 = \frac{120}{x}$. Отсюда также выразим плановый срок: $T = \frac{120}{x} - 2$.

Поскольку плановый срок $T$ для обеих мастерских одинаков, мы можем приравнять выражения для $T$: $\frac{160}{x + 10} + 2 = \frac{120}{x} - 2$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем числа в одну сторону, а дроби в другую: $2 + 2 = \frac{120}{x} - \frac{160}{x + 10}$ $4 = \frac{120(x + 10) - 160x}{x(x + 10)}$ $4 = \frac{120x + 1200 - 160x}{x^2 + 10x}$ $4 = \frac{1200 - 40x}{x^2 + 10x}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 10x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$: $4(x^2 + 10x) = 1200 - 40x$ $4x^2 + 40x = 1200 - 40x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 40x + 40x - 1200 = 0$ $4x^2 + 80x - 1200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения: $x^2 + 20x - 300 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 400 + 1200 = 1600$ $\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-20 + 40}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{-20 - 40}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку $x$ представляет собой количество костюмов, сшитых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -30$ не является решением задачи.

Единственное подходящее решение — $x = 10$. Таким образом, вторая мастерская шила 10 костюмов в день.

Ответ: 10 костюмов.