Номер 719, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 719, страница 159.

719. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано $\frac{2}{3}$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первый трактор может вспахать всё поле.

Поскольку первому трактору требуется на 5 дней меньше, чем второму, то второму трактору потребуется $(x+5)$ дней для вспашки всего поля.

Производительность первого трактора (часть поля, вспахиваемая за один день) равна $\frac{1}{x}$.

Производительность второго трактора равна $\frac{1}{x+5}$.

Совместная производительность двух тракторов равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение, умножив совместную производительность на время (4 дня) и приравняв к выполненной работе ($\frac{2}{3}$):

$4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = \frac{2}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{3 \cdot 4}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, время, за которое первый трактор может вспахать поле, равно 10 дней.

Теперь найдем время, необходимое второму трактору:

$x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Следовательно, первому трактору для вспашки всего поля потребуется 10 дней, а второму — 15 дней.

Ответ: первому трактору потребуется 10 дней, второму — 15 дней.