Номер 726, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 726, страница 163.

726. Даны выражения

$3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$.

Сравните их значения при $a = -5$; $0$; $40$. Докажите, что при любом $a$ значение первого выражения меньше значения второго.

Сравним значения выражений $3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$ при $a = -5; 0; 40$.

1. При $a = -5$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(-5)(-5 + 6) = -15 \cdot 1 = -15$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(-5) + 6)(-5 + 4) = (-15 + 6)(-1) = (-9)(-1) = 9$.
Сравнение: $-15 < 9$. Значение первого выражения меньше.

2. При $a = 0$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(0)(0 + 6) = 0 \cdot 6 = 0$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(0) + 6)(0 + 4) = (6)(4) = 24$.
Сравнение: $0 < 24$. Значение первого выражения меньше.

3. При $a = 40$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(40)(40 + 6) = 120 \cdot 46 = 5520$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(40) + 6)(40 + 4) = (120 + 6)(44) = 126 \cdot 44 = 5544$.
Сравнение: $5520 < 5544$. Значение первого выражения меньше.

Ответ: При $a = -5$ значения выражений равны -15 и 9; при $a = 0$ — 0 и 24; при $a = 40$ — 5520 и 5544. В каждом из этих случаев значение первого выражения меньше значения второго.

Докажем, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

Чтобы доказать, что $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ для любого значения a, рассмотрим разность этих выражений. Для этого сначала упростим каждое из них, раскрыв скобки.

Упрощение первого выражения: $3a(a + 6) = 3a^2 + 18a$.

Упрощение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 + 6 \cdot a + 6 \cdot 4 = 3a^2 + 12a + 6a + 24 = 3a^2 + 18a + 24$.

Теперь найдем разность значения второго выражения и значения первого выражения: $(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a) = 3a^2 + 18a + 24 - 3a^2 - 18a = 24$.

Разность выражений равна 24. Так как $24 > 0$, это означает, что значение второго выражения всегда на 24 больше значения первого, независимо от значения переменной a.

Таким образом, неравенство $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ верно для любого a, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность второго и первого выражений равна константе 24, которая больше нуля. Следовательно, значение первого выражения всегда меньше значения второго при любом значении a.