Номер 733, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 733, страница 164.

733. Докажите, что при $a > 0$ верно неравенство $\frac{a+2}{a} - 2 \ge 2 - \frac{a+2}{2}$.

Для доказательства неравенства $\frac{a+2}{a} - 2 \geq 2 - \frac{a+2}{2}$ при $a > 0$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} \geq 0$

Упростим выражение:

$\frac{a+2}{a} + \frac{a+2}{2} - 4 \geq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a+2}{a}$ и $\frac{a+2}{2}$ равен $2a$. Так как по условию $a > 0$, то и $2a > 0$.

$\frac{2(a+2)}{2a} + \frac{a(a+2)}{2a} - \frac{4(2a)}{2a} \geq 0$

Запишем все выражение в виде одной дроби:

$\frac{2(a+2) + a(a+2) - 8a}{2a} \geq 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 4 + a^2 + 2a - 8a}{2a} \geq 0$

$\frac{a^2 - 4a + 4}{2a} \geq 0$

Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

Подставим это выражение обратно в неравенство:

$\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому числитель $(a-2)^2 \geq 0$ при любом значении $a$. По условию задачи $a > 0$, следовательно, знаменатель $2a$ также строго больше нуля ($2a > 0$).

Отношение неотрицательного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0$ является верным для всех $a > 0$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.