Номер 736, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 736, страница 164.

736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

a) $a^2 - 6a + 14 > 0;$

б) $b^2 + 70 > 16b.$

a) Докажем неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$.

Для доказательства используем метод выделения полного квадрата. Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен. Чтобы выделить квадрат двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 - 6a + 14$ определим, какого слагаемого не хватает до полного квадрата. Слагаемое $-6a$ является удвоенным произведением $a$ на некоторое число. Запишем это как $-2 \cdot a \cdot 3$. Следовательно, вторым числом в двучлене является $3$, а для полного квадрата нам необходимо слагаемое $3^2 = 9$.

Представим число $14$ в виде суммы $9 + 5$ и сгруппируем слагаемые:

$a^2 - 6a + 14 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 9 + 5 = (a^2 - 6a + 9) + 5$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a - 3)^2$. Таким образом, мы преобразовали левую часть неравенства:

$(a - 3)^2 + 5$

Теперь проанализируем полученное выражение. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \geq 0$ при любом значении $a$.

Наименьшее значение выражения $(a - 3)^2$ равно 0 (достигается при $a=3$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(a - 3)^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$.

Поскольку наименьшее значение левой части неравенства равно 5, а $5 > 0$, то выражение $(a - 3)^2 + 5$ всегда будет строго больше нуля при любом значении $a$.

Таким образом, неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2 - 6a + 14 = (a - 3)^2 + 5$, и поскольку $(a - 3)^2 \geq 0$ для любого $a$, то $(a - 3)^2 + 5 \geq 5 > 0$.

б) Докажем неравенство $b^2 + 70 > 16b$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид для анализа:

$b^2 - 16b + 70 > 0$

Теперь, как и в предыдущем пункте, выделим полный квадрат в левой части, используя формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $b^2 - 16b + 70$ слагаемое $-16b$ является удвоенным произведением $b$ на некоторое число. Запишем это как $-2 \cdot b \cdot 8$. Следовательно, вторым числом в двучлене является $8$, а для полного квадрата нам необходимо слагаемое $8^2 = 64$.

Представим число $70$ в виде суммы $64 + 6$ и сгруппируем слагаемые:

$b^2 - 16b + 70 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 8 + 64 + 6 = (b^2 - 16b + 64) + 6$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(b - 8)^2$. Таким образом, левая часть неравенства преобразуется к виду:

$(b - 8)^2 + 6$

Проанализируем полученное выражение. Выражение $(b - 8)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(b - 8)^2 \geq 0$ при любом значении $b$.

Наименьшее значение выражения $(b - 8)^2$ равно 0 (достигается при $b=8$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(b - 8)^2 + 6$ равно $0 + 6 = 6$.

Поскольку $6 > 0$, то и все выражение $(b - 8)^2 + 6$ всегда будет строго больше нуля при любом значении $b$.

Это доказывает, что неравенство $b^2 - 16b + 70 > 0$, а значит и исходное неравенство $b^2 + 70 > 16b$, верно.

Ответ: Неравенство доказано, так как $b^2 + 70 > 16b$ равносильно $b^2 - 16b + 70 > 0$, а $b^2 - 16b + 70 = (b - 8)^2 + 6$. Поскольку $(b - 8)^2 \geq 0$ для любого $b$, то $(b - 8)^2 + 6 \geq 6 > 0$.