Номер 730, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 730, страница 163.

730. Верно ли при любом $x$ неравенство:

а) $4x(x + 0.25) > (2x + 3)(2x - 3);$

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2;$

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16);$

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)?$

а) $4x(x + 0,25) > (2x + 3)(2x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части выполним умножение, а в правой применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$4x^2 + 4x \cdot 0,25 > (2x)^2 - 3^2$

$4x^2 + x > 4x^2 - 9$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону, чтобы упростить неравенство.

$4x^2 - 4x^2 + x > -9$

$x > -9$

Данное неравенство верно не для любого значения $x$, а только для тех $x$, которые больше $-9$. Например, при $x = -10$ неравенство $-10 > -9$ неверно. Следовательно, исходное неравенство неверно при любом $x$.

Ответ: нет, неверно.

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов.

$(5x)^2 - 1^2 < 25x^2 + 2$

$25x^2 - 1 < 25x^2 + 2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону.

$25x^2 - 25x^2 < 2 + 1$

$0 < 3$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что исходное неравенство будет верным при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16)$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 > 3x^2 + 3x \cdot 16$

$9x^2 + 48x + 64 > 3x^2 + 48x$

Перенесем все слагаемые в левую часть.

$9x^2 - 3x^2 + 48x - 48x + 64 > 0$

$6x^2 + 64 > 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $6x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа $6x^2$ и положительного числа $64$ всегда будет положительной. Минимальное значение левой части равно $6 \cdot 0^2 + 64 = 64$, что больше нуля. Таким образом, неравенство $6x^2 + 64 > 0$ верно при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу разности квадратов.

$7^2 - (2x)^2 < 49 - (4x^2 + x)$

$49 - 4x^2 < 49 - 4x^2 - x$

Перенесем слагаемые для упрощения.

$49 - 49 - 4x^2 + 4x^2 < -x$

$0 < -x$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный.

$x < 0$

Данное неравенство верно не для любого значения $x$, а только для отрицательных $x$. Например, при $x = 5$ неравенство $5 < 0$ неверно. Следовательно, исходное неравенство неверно при любом $x$.

Ответ: нет, неверно.