Номер 731, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 731, страница 163.

731. Докажите неравенство:

а) $a(a + b) \ge ab;$

б) $m^2 - mn + n^2 \ge mn;$

в) $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a;$

г) $2bc \le b^2 + c^2;$

д) $a(a - b) \ge b(a - b);$

е) $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1.$

а) Для доказательства неравенства $a(a + b) \ge ab$ преобразуем его.
Раскроем скобки в левой части:
$a^2 + ab \ge ab$
Перенесем слагаемое $ab$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:
$a^2 + ab - ab \ge 0$
$a^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Таким образом, неравенство $a^2 \ge 0$ истинно для любого значения $a$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $m^2 - mn + n^2 \ge mn$ перенесем все слагаемые в одну часть:
$m^2 - mn + n^2 - mn \ge 0$
Приведем подобные члены:
$m^2 - 2mn + n^2 \ge 0$
Выражение в левой части представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности:
$(m - n)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, полученное неравенство верно для любых значений $m$ и $n$, а значит, верно и исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a$. Перенесем все члены из правой части в левую:
$10a^2 - 5a + 1 - a^2 - a \ge 0$
Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:
$(10a^2 - a^2) + (-5a - a) + 1 \ge 0$
$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$
Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности $(3a - 1)$:
$(3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(3a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда больше или равен нулю. Это неравенство справедливо для любого значения $a$, следовательно, исходное неравенство также справедливо.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $2bc \le b^2 + c^2$ перенесем $2bc$ в правую часть:
$0 \le b^2 + c^2 - 2bc$
Это то же самое, что и:
$b^2 - 2bc + c^2 \ge 0$
В левой части мы видим формулу квадрата разности:
$(b - c)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для любых значений $b$ и $c$. Значит, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем неравенство $a(a - b) \ge b(a - b)$. Перенесем выражение из правой части в левую:
$a(a - b) - b(a - b) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a - b) \ge 0$
$(a - b)^2 \ge 0$
Квадрат разности двух любых действительных чисел всегда больше или равен нулю. Таким образом, неравенство выполняется для любых $a$ и $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем неравенство $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1$. Перенесем все члены в правую часть для удобства:
$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - (a^2 - a)$
$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - a^2 + a$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 \le 49a^2 - 14a + 1$
Это неравенство эквивалентно следующему:
$49a^2 - 14a + 1 \ge 0$
Левая часть является полным квадратом разности $(7a - 1)$:
$(7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(7a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Неравенство истинно для любого значения $a$, а значит, и исходное неравенство тоже верно.
Ответ: Неравенство доказано.