Номер 727, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 727, страница 163.

727. Даны выражения

$4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$.

Сравните их значения при $b = -3; -2; 10$. Можно ли утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго?

Сравним значения выражений $4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$ при заданных значениях $b$.

При b = -3

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(-3)(-3 + 1) = -12(-2) = 24$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(-3) + 7)(2(-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \cdot (-14) = -14$.

Сравнение: $24 > -14$.

Ответ: при $b = -3$ значение первого выражения больше значения второго.

При b = -2

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(-2)(-2 + 1) = -8(-1) = 8$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(-2) + 7)(2(-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \cdot (-12) = -36$.

Сравнение: $8 > -36$.

Ответ: при $b = -2$ значение первого выражения больше значения второго.

При b = 10

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(10)(10 + 1) = 40(11) = 440$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(10) + 7)(2(10) - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \cdot 12 = 324$.

Сравнение: $440 > 324$.

Ответ: при $b = 10$ значение первого выражения больше значения второго.

Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Для ответа на этот вопрос сравним выражения в общем виде. Для этого раскроем скобки в каждом выражении и приведем подобные слагаемые.

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4b^2 + 4b$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = 2b \cdot 2b + 2b \cdot (-8) + 7 \cdot 2b + 7 \cdot (-8) = 4b^2 - 16b + 14b - 56 = 4b^2 - 2b - 56$.

Теперь сравним полученные многочлены, решив неравенство:

$4b^2 + 4b > 4b^2 - 2b - 56$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числовые — в правую, или вычтем $4b^2$ из обеих частей:

$4b > -2b - 56$

Прибавим $2b$ к обеим частям неравенства:

$4b + 2b > -56$

$6b > -56$

Разделим обе части на 6:

$b > -\frac{56}{6}$

$b > -\frac{28}{3}$

$b > -9\frac{1}{3}$

Мы видим, что значение первого выражения больше значения второго только при $b > -9\frac{1}{3}$, а не при любом значении $b$.

Чтобы доказать это, приведем контрпример. Возьмем любое число, которое не удовлетворяет неравенству, например, $b = -10$ (так как $-10 < -9\frac{1}{3}$).

При $b = -10$:

Первое выражение: $4(-10)(-10 + 1) = -40(-9) = 360$.

Второе выражение: $(2(-10) + 7)(2(-10) - 8) = (-20 + 7)(-20 - 8) = (-13)(-28) = 364$.

Получаем $360 < 364$, то есть значение первого выражения меньше значения второго.

Ответ: нет, нельзя утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго. Это утверждение верно только при $b > -9\frac{1}{3}$.