Номер 722, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 722, страница 159.

722. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первый слесарь может выполнить весь заказ, работая в одиночку, а $t_2$ часов — время, за которое второй слесарь может выполнить весь заказ, работая в одиночку.

Тогда производительность первого слесаря (часть заказа, выполняемая за 1 час) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второго — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Из условия задачи известно, что первому слесарю для выполнения заказа понадобилось бы на 5 часов больше, чем второму. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 + 5$

Для удобства решения обозначим время работы второго слесаря за $x$, то есть $t_2 = x$. Тогда время работы первого слесаря будет $t_1 = x + 5$.

Соответственно, их производительности будут равны: $p_1 = \frac{1}{x+5}$ и $p_2 = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, сначала 1 час работал первый слесарь, а затем 4 часа они работали вместе. За это время было выполнено 40% (или 0,4) всего заказа. Составим уравнение, отражающее объем выполненной работы:

Работа, выполненная первым слесарем за 1 час: $1 \cdot p_1 = \frac{1}{x+5}$.

Работа, выполненная обоими слесарями за 4 часа совместной работы: $4 \cdot (p_1 + p_2) = 4 \cdot \left(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}\right)$.

Суммарный объем выполненной работы равен 0,4:

$1 \cdot \frac{1}{x+5} + 4 \cdot \left(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}\right) = 0.4$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4$

$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4$

Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:

$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{5x + 4(x+5)}{x(x+5)} = \frac{2}{5}$

$\frac{5x + 4x + 20}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5}$

$\frac{9x + 20}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$:

$5(9x + 20) = 2(x^2 + 5x)$

$45x + 100 = 2x^2 + 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 10x - 45x - 100 = 0$

$2x^2 - 35x - 100 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-100) = 1225 + 800 = 2025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-35) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 45}{4} = \frac{80}{4} = 20$

$x_2 = \frac{-(-35) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 45}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое второму слесарю для выполнения всего заказа, составляет $t_2 = x = 20$ часов.

Время, необходимое первому слесарю: $t_1 = x + 5 = 20 + 5 = 25$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить заказ за 25 часов, а второй — за 20 часов.