Номер 717, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 717, страница 159.

717. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.

Пусть $m_1$ — масса первого сплава в кг, а $m_2$ — масса второго сплава в кг.

Согласно условию задачи, общая масса двух сплавов равна 60 кг, что можно записать в виде уравнения:

$m_1 + m_2 = 60$

Содержание (концентрация) меди в сплаве — это отношение массы меди к общей массе сплава.

Концентрация меди в первом сплаве: $C_1 = \frac{6}{m_1}$

Концентрация меди во втором сплаве: $C_2 = \frac{3.6}{m_2}$

Известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором. Это означает, что разница в их процентном содержании составляет 15 процентных пунктов. В долях это записывается как:

$C_1 = C_2 + 0.15$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{m_2} + 0.15$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 60 \\ \frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{m_2} + 0.15 \end{cases}$

Выразим $m_2$ из первого уравнения: $m_2 = 60 - m_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{60 - m_1} + 0.15$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $m_1(60 - m_1)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $m_1 \neq 0$ и $m_1 \neq 60$):

$6(60 - m_1) = 3.6m_1 + 0.15m_1(60 - m_1)$

Раскроем скобки и упростим:

$360 - 6m_1 = 3.6m_1 + 9m_1 - 0.15m_1^2$

$360 - 6m_1 = 12.6m_1 - 0.15m_1^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$0.15m_1^2 - 12.6m_1 - 6m_1 + 360 = 0$

$0.15m_1^2 - 18.6m_1 + 360 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 15, чтобы упростить коэффициенты:

$15m_1^2 - 1860m_1 + 36000 = 0$

$m_1^2 - 124m_1 + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 15376 - 9600 = 5776$

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$

Найдем корни уравнения:

$m_{1,1} = \frac{124 + 76}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$m_{1,2} = \frac{124 - 76}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Проверим оба корня.

1. Если масса первого сплава $m_1 = 100$ кг, то масса второго сплава $m_2 = 60 - 100 = -40$ кг. Масса не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Если масса первого сплава $m_1 = 24$ кг, то масса второго сплава $m_2 = 60 - 24 = 36$ кг. Это решение возможно.

Проверим выполнение условия о содержании меди:

Содержание меди в первом сплаве: $C_1 = \frac{6 \text{ кг}}{24 \text{ кг}} = 0.25$, или 25%.

Содержание меди во втором сплаве: $C_2 = \frac{3.6 \text{ кг}}{36 \text{ кг}} = 0.1$, или 10%.

Разница в содержании меди: $25\% - 10\% = 15\%$. Условие выполнено.

Ответ: масса первого сплава равна 24 кг, а масса второго сплава — 36 кг.