Номер 716, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 716, страница 158.

716. Бригада рабочих должна была за определённый срок изготовить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество пылесосов, которое бригада должна была изготовлять в день по плану (плановая норма), а $t$ — запланированный срок выполнения работы в днях.

Согласно плану, за $t$ дней бригада должна была изготовить 768 пылесосов. Это условие можно записать в виде уравнения:
$x \cdot t = 768$

Из этого уравнения мы можем выразить плановый срок $t$ через плановую норму $x$:
$t = \frac{768}{x}$

По факту, первые 5 дней бригада работала с плановой производительностью $x$ и изготовила $5x$ пылесосов.

Затем производительность бригады увеличилась, и они стали изготовлять на 6 пылесосов больше, то есть $(x+6)$ пылесосов в день.

Работа была завершена на 1 день раньше срока, то есть общее время работы составило $(t-1)$ дней. Период работы с повышенной производительностью составил $(t-1) - 5 = (t-6)$ дней.

За этот период было изготовлено $(t-6)(x+6)$ пылесосов.

Всего за $(t-1)$ день было изготовлено 844 пылесоса. Составим уравнение, описывающее фактическое выполнение работы:
$5x + (t-6)(x+6) = 844$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $t$, которое мы получили ранее ($t = \frac{768}{x}$):
$5x + (\frac{768}{x} - 6)(x+6) = 844$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$5x + \frac{768}{x} \cdot x + \frac{768}{x} \cdot 6 - 6x - 36 = 844$
$5x + 768 + \frac{4608}{x} - 6x - 36 = 844$

Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 6x) + (768 - 36) + \frac{4608}{x} = 844$
$-x + 732 + \frac{4608}{x} = 844$

Перенесем число 732 в правую часть уравнения:
$-x + \frac{4608}{x} = 844 - 732$
$-x + \frac{4608}{x} = 112$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$. Так как $x$ — это дневная норма, $x$ не может быть равен нулю ($x > 0$).
$-x^2 + 4608 = 112x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 112x - 4608 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 112^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4608) = 12544 + 18432 = 30976$
$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-112 - 176}{2} = \frac{-288}{2} = -144$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-112 + 176}{2} = \frac{64}{2} = 32$

Корень $x_1 = -144$ не имеет физического смысла, так как количество произведенных пылесосов не может быть отрицательным. Следовательно, единственное подходящее решение — $x_2 = 32$.

Таким образом, по плану бригада должна была изготовлять 32 пылесоса в день.

Ответ: 32 пылесоса.