Номер 721, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 721, страница 159.

721. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

Пусть $t$ часов — это время, за которое бассейн наполнится при одновременной работе обеих труб.

Согласно условию, первой трубе для наполнения бассейна требуется на 9 часов больше времени, чем обеим трубам вместе. Значит, время работы первой трубы составляет $t_1 = t + 9$ часов.

Также по условию, время работы первой трубы на 7 часов меньше, чем время работы второй трубы. Следовательно, время работы второй трубы составляет $t_2 = t_1 + 7 = (t + 9) + 7 = t + 16$ часов.

Примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{t_1} = \frac{1}{t+9}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{t_2} = \frac{1}{t+16}$ бассейна в час.

Совместная производительность двух труб равна сумме их производительностей. Также она равна $\frac{1}{t}$ (объем, деленный на совместное время).

Составим уравнение, связывающее производительности: $$ \frac{1}{t+9} + \frac{1}{t+16} = \frac{1}{t} $$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{t+16 + t+9}{(t+9)(t+16)} = \frac{1}{t} $$ $$ \frac{2t+25}{t^2 + 16t + 9t + 144} = \frac{1}{t} $$ $$ \frac{2t+25}{t^2 + 25t + 144} = \frac{1}{t} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $t > 0$: $$ t(2t+25) = 1(t^2 + 25t + 144) $$ $$ 2t^2 + 25t = t^2 + 25t + 144 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные члены: $$ 2t^2 - t^2 + 25t - 25t - 144 = 0 $$ $$ t^2 - 144 = 0 $$ $$ t^2 = 144 $$

Так как время не может быть отрицательным, извлекаем арифметический квадратный корень: $$ t = \sqrt{144} = 12 $$

Следовательно, бассейн наполнится через обе трубы за 12 часов.

Ответ: 12.