Страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

717. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав содержит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каждого сплава, если известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором.

Пусть $m_1$ — масса первого сплава в кг, а $m_2$ — масса второго сплава в кг.

Согласно условию задачи, общая масса двух сплавов равна 60 кг, что можно записать в виде уравнения:

$m_1 + m_2 = 60$

Содержание (концентрация) меди в сплаве — это отношение массы меди к общей массе сплава.

Концентрация меди в первом сплаве: $C_1 = \frac{6}{m_1}$

Концентрация меди во втором сплаве: $C_2 = \frac{3.6}{m_2}$

Известно, что содержание меди в первом сплаве на 15% больше, чем во втором. Это означает, что разница в их процентном содержании составляет 15 процентных пунктов. В долях это записывается как:

$C_1 = C_2 + 0.15$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:

$\frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{m_2} + 0.15$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 60 \\ \frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{m_2} + 0.15 \end{cases}$

Выразим $m_2$ из первого уравнения: $m_2 = 60 - m_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{6}{m_1} = \frac{3.6}{60 - m_1} + 0.15$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $m_1(60 - m_1)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $m_1 \neq 0$ и $m_1 \neq 60$):

$6(60 - m_1) = 3.6m_1 + 0.15m_1(60 - m_1)$

Раскроем скобки и упростим:

$360 - 6m_1 = 3.6m_1 + 9m_1 - 0.15m_1^2$

$360 - 6m_1 = 12.6m_1 - 0.15m_1^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$0.15m_1^2 - 12.6m_1 - 6m_1 + 360 = 0$

$0.15m_1^2 - 18.6m_1 + 360 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей, а затем разделим на 15, чтобы упростить коэффициенты:

$15m_1^2 - 1860m_1 + 36000 = 0$

$m_1^2 - 124m_1 + 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-124)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 15376 - 9600 = 5776$

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$

Найдем корни уравнения:

$m_{1,1} = \frac{124 + 76}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$m_{1,2} = \frac{124 - 76}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Проверим оба корня.

1. Если масса первого сплава $m_1 = 100$ кг, то масса второго сплава $m_2 = 60 - 100 = -40$ кг. Масса не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Если масса первого сплава $m_1 = 24$ кг, то масса второго сплава $m_2 = 60 - 24 = 36$ кг. Это решение возможно.

Проверим выполнение условия о содержании меди:

Содержание меди в первом сплаве: $C_1 = \frac{6 \text{ кг}}{24 \text{ кг}} = 0.25$, или 25%.

Содержание меди во втором сплаве: $C_2 = \frac{3.6 \text{ кг}}{36 \text{ кг}} = 0.1$, или 10%.

Разница в содержании меди: $25\% - 10\% = 15\%$. Условие выполнено.

Ответ: масса первого сплава равна 24 кг, а масса второго сплава — 36 кг.

718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_{cu}$ — первоначальная масса меди в сплаве (в кг). По условию, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 6 кг.

Тогда первоначальная масса всего сплава $M_1$ равна:

$M_1 = m_{cu} + 6$

Процентное содержание (концентрация) меди в первоначальном сплаве $C_1$ рассчитывается как отношение массы меди к общей массе сплава, умноженное на 100%:

$C_1 = \frac{m_{cu}}{M_1} \times 100\% = \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} \times 100\%$

После того как к сплаву добавили 13 кг цинка, масса меди не изменилась ($m_{cu}$), а масса цинка стала равной $6 + 13 = 19$ кг. Масса нового сплава $M_2$ составила:

$M_2 = m_{cu} + 19$

Концентрация меди в новом сплаве $C_2$ стала равна:

$C_2 = \frac{m_{cu}}{M_2} \times 100\% = \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} \times 100\%$

По условию, содержание меди понизилось на 26%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 26 процентных пунктов:

$C_1 - C_2 = 26$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} \times 100 - \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} \times 100 = 26$

Разделим обе части уравнения на 100:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} - \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} = 0.26$

Вынесем $m_{cu}$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$m_{cu} \left( \frac{1}{m_{cu} + 6} - \frac{1}{m_{cu} + 19} \right) = 0.26$

$m_{cu} \left( \frac{(m_{cu} + 19) - (m_{cu} + 6)}{(m_{cu} + 6)(m_{cu} + 19)} \right) = 0.26$

$m_{cu} \left( \frac{13}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} \right) = 0.26$

Представим 0.26 в виде обыкновенной дроби $26/100 = 13/50$:

$\frac{13m_{cu}}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} = \frac{13}{50}$

Так как масса меди $m_{cu}$ не может быть равна нулю, разделим обе части уравнения на 13:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} = \frac{1}{50}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$50m_{cu} = m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$m_{cu}^2 + 25m_{cu} - 50m_{cu} + 114 = 0$

$m_{cu}^2 - 25m_{cu} + 114 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $m_{cu1} = 6$ и $m_{cu2} = 19$.

Таким образом, мы получили два возможных значения массы меди. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Масса меди $m_{cu} = 6$ кг.

Первоначальная масса сплава: $M_1 = m_{cu} + 6 = 6 + 6 = 12$ кг.

Проверка:

Начальная концентрация меди: $C_1 = (6/12) \times 100\% = 50\%$.

Конечная концентрация меди: $C_2 = (6/(6+19)) \times 100\% = (6/25) \times 100\% = 24\%$.

Разница концентраций: $50\% - 24\% = 26\%$. Условие выполняется.

Случай 2: Масса меди $m_{cu} = 19$ кг.

Первоначальная масса сплава: $M_1 = m_{cu} + 6 = 19 + 6 = 25$ кг.

Проверка:

Начальная концентрация меди: $C_1 = (19/25) \times 100\% = 76\%$.

Конечная концентрация меди: $C_2 = (19/(19+19)) \times 100\% = (19/38) \times 100\% = 50\%$.

Разница концентраций: $76\% - 50\% = 26\%$. Условие также выполняется.

Оба решения являются математически верными, следовательно, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: первоначальная масса сплава была 12 кг или 25 кг.

719. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано $\frac{2}{3}$ поля. За сколько дней можно было бы вспахать всё поле каждым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней быстрее, чем вторым?

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первый трактор может вспахать всё поле.

Поскольку первому трактору требуется на 5 дней меньше, чем второму, то второму трактору потребуется $(x+5)$ дней для вспашки всего поля.

Производительность первого трактора (часть поля, вспахиваемая за один день) равна $\frac{1}{x}$.

Производительность второго трактора равна $\frac{1}{x+5}$.

Совместная производительность двух тракторов равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, за 4 дня совместной работы тракторы вспахали $\frac{2}{3}$ поля. Составим уравнение, умножив совместную производительность на время (4 дня) и приравняв к выполненной работе ($\frac{2}{3}$):

$4 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}\right) = \frac{2}{3}$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{3 \cdot 4}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, время, за которое первый трактор может вспахать поле, равно 10 дней.

Теперь найдем время, необходимое второму трактору:

$x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Следовательно, первому трактору для вспашки всего поля потребуется 10 дней, а второму — 15 дней.

Ответ: первому трактору потребуется 10 дней, второму — 15 дней.

720. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Пусть $t$ — это время в днях, за которое два комбайна соберут весь хлопок, работая вместе.

Согласно условию задачи, если два комбайна выполняют работу на 9 дней быстрее, чем один первый, то время работы первого комбайна в одиночку составляет $t_1 = t + 9$ дней.

Аналогично, если два комбайна выполняют работу на 4 дня быстрее, чем один второй, то время работы второго комбайна в одиночку составляет $t_2 = t + 4$ дня.

Примем весь объем работы (сбор хлопка с поля) за 1.

Тогда производительность (скорость работы) первого комбайна равна $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t+9}$ (часть поля в день).

Производительность второго комбайна равна $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t+4}$ (часть поля в день).

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух комбайнов равна $P_{12} = \frac{1}{t}$.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность к сумме производительностей каждого комбайна: $$ P_{12} = P_1 + P_2 $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{1}{t+9} + \frac{1}{t+4} $$

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(t+9)(t+4)$: $$ \frac{1}{t} = \frac{(t+4) + (t+9)}{(t+9)(t+4)} $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{2t + 13}{t^2 + 4t + 9t + 36} $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{2t + 13}{t^2 + 13t + 36} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Допустимые значения $t > 0$. $$ 1 \cdot (t^2 + 13t + 36) = t \cdot (2t + 13) $$ $$ t^2 + 13t + 36 = 2t^2 + 13t $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $$ 2t^2 - t^2 + 13t - 13t - 36 = 0 $$ $$ t^2 - 36 = 0 $$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $$ t^2 = 36 $$ $$ t = \sqrt{36} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{36} $$ $$ t = 6 \quad \text{или} \quad t = -6 $$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $t = 6$. Это означает, что два комбайна вместе могут собрать весь хлопок за 6 дней.

Теперь найдем время, за которое каждый комбайн может собрать хлопок, работая в одиночку:

Время работы первого комбайна: $t_1 = t + 9 = 6 + 9 = 15$ дней.

Время работы второго комбайна: $t_2 = t + 4 = 6 + 4 = 10$ дней.

Ответ: первый комбайн может собрать весь хлопок за 15 дней, а второй комбайн — за 10 дней.

721. Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

Пусть $t$ часов — это время, за которое бассейн наполнится при одновременной работе обеих труб.

Согласно условию, первой трубе для наполнения бассейна требуется на 9 часов больше времени, чем обеим трубам вместе. Значит, время работы первой трубы составляет $t_1 = t + 9$ часов.

Также по условию, время работы первой трубы на 7 часов меньше, чем время работы второй трубы. Следовательно, время работы второй трубы составляет $t_2 = t_1 + 7 = (t + 9) + 7 = t + 16$ часов.

Примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{t_1} = \frac{1}{t+9}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{t_2} = \frac{1}{t+16}$ бассейна в час.

Совместная производительность двух труб равна сумме их производительностей. Также она равна $\frac{1}{t}$ (объем, деленный на совместное время).

Составим уравнение, связывающее производительности: $$ \frac{1}{t+9} + \frac{1}{t+16} = \frac{1}{t} $$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{t+16 + t+9}{(t+9)(t+16)} = \frac{1}{t} $$ $$ \frac{2t+25}{t^2 + 16t + 9t + 144} = \frac{1}{t} $$ $$ \frac{2t+25}{t^2 + 25t + 144} = \frac{1}{t} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $t > 0$: $$ t(2t+25) = 1(t^2 + 25t + 144) $$ $$ 2t^2 + 25t = t^2 + 25t + 144 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные члены: $$ 2t^2 - t^2 + 25t - 25t - 144 = 0 $$ $$ t^2 - 144 = 0 $$ $$ t^2 = 144 $$

Так как время не может быть отрицательным, извлекаем арифметический квадратный корень: $$ t = \sqrt{144} = 12 $$

Следовательно, бассейн наполнится через обе трубы за 12 часов.

Ответ: 12.

722. Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первый слесарь может выполнить весь заказ, работая в одиночку, а $t_2$ часов — время, за которое второй слесарь может выполнить весь заказ, работая в одиночку.

Тогда производительность первого слесаря (часть заказа, выполняемая за 1 час) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второго — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Из условия задачи известно, что первому слесарю для выполнения заказа понадобилось бы на 5 часов больше, чем второму. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 = t_2 + 5$

Для удобства решения обозначим время работы второго слесаря за $x$, то есть $t_2 = x$. Тогда время работы первого слесаря будет $t_1 = x + 5$.

Соответственно, их производительности будут равны: $p_1 = \frac{1}{x+5}$ и $p_2 = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, сначала 1 час работал первый слесарь, а затем 4 часа они работали вместе. За это время было выполнено 40% (или 0,4) всего заказа. Составим уравнение, отражающее объем выполненной работы:

Работа, выполненная первым слесарем за 1 час: $1 \cdot p_1 = \frac{1}{x+5}$.

Работа, выполненная обоими слесарями за 4 часа совместной работы: $4 \cdot (p_1 + p_2) = 4 \cdot \left(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}\right)$.

Суммарный объем выполненной работы равен 0,4:

$1 \cdot \frac{1}{x+5} + 4 \cdot \left(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}\right) = 0.4$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4$

$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = 0.4$

Представим 0,4 в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$:

$\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = \frac{2}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{5x + 4(x+5)}{x(x+5)} = \frac{2}{5}$

$\frac{5x + 4x + 20}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5}$

$\frac{9x + 20}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$:

$5(9x + 20) = 2(x^2 + 5x)$

$45x + 100 = 2x^2 + 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 10x - 45x - 100 = 0$

$2x^2 - 35x - 100 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-100) = 1225 + 800 = 2025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-35) + 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 45}{4} = \frac{80}{4} = 20$

$x_2 = \frac{-(-35) - 45}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 45}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое второму слесарю для выполнения всего заказа, составляет $t_2 = x = 20$ часов.

Время, необходимое первому слесарю: $t_1 = x + 5 = 20 + 5 = 25$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить заказ за 25 часов, а второй — за 20 часов.

723. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть весь объем работы (копирование всей рукописи) равен 1.

Пусть $t_1$ — это время в минутах, за которое первая копировальная машина выполнит всю работу самостоятельно, а $t_2$ — время, за которое вторая машина выполнит всю работу.

Тогда производительность первой машины (часть работы, выполняемая за минуту) равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй машины — $v_2 = \frac{1}{t_2}$.

1. Составим первое уравнение на основе первого условия.

При совместной работе их производительности складываются. Вся работа выполняется за 6 минут. Значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в минуту.

Получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Подставив выражения для $v_1$ и $v_2$, получим:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

2. Составим второе уравнение на основе второго условия.

Первая машина копирует половину рукописи (работа равна $\frac{1}{2}$). Время, которое она на это тратит, равно $\frac{\text{работа}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{v_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ минут.

Затем вторая машина копирует оставшуюся половину рукописи. Время, которое она тратит, равно $\frac{1/2}{v_2} = \frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ минут.

Общее время, затраченное на всю работу, составляет 12,5 минут. Получаем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 12,5$

Умножим обе части этого уравнения на 2, чтобы упростить его:

$t_1 + t_2 = 25$

3. Решим полученную систему уравнений.

У нас есть система:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ t_1 + t_2 = 25 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$ через $t_1$:

$t_2 = 25 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{25 - t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(25 - t_1) + t_1}{t_1(25 - t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25t_1 - t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используем правило пропорции:

$25 \cdot 6 = 1 \cdot (25t_1 - t_1^2)$

$150 = 25t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t_1^2 - 25t_1 + 150 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 25, а произведение — 150. Это числа 10 и 15.

Таким образом, корни уравнения: $t_1 = 10$ и $t_1 = 15$.

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$:

• Если $t_1 = 10$ минут, то $t_2 = 25 - 10 = 15$ минут.
• Если $t_1 = 15$ минут, то $t_2 = 25 - 15 = 10$ минут.

В обоих случаях мы получаем, что время работы одной машины — 10 минут, а другой — 15 минут.

Ответ: Одна машина может снять ксерокопию со всей рукописи за 10 минут, а другая — за 15 минут.