Страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

740. Что больше: $a^3 + b^3$ или $ab(a + b)$, если $a$ и $b$ — неравные положительные числа?

Чтобы определить, какое из выражений больше, $a^3 + b^3$ или $ab(a + b)$, найдем их разность и проанализируем ее знак. Условия задачи: $a$ и $b$ — неравные положительные числа, то есть $a > 0$, $b > 0$ и $a \ne b$.

Рассмотрим разность данных выражений:

$(a^3 + b^3) - ab(a + b)$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b) \cdot ((a^2 - ab + b^2) - ab)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является формулой квадрата разности $(a - b)^2$. Таким образом, разность можно записать в виде:

$(a + b)(a - b)^2$

Теперь определим знак этого произведения на основе заданных условий:

1. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их сумма $(a + b)$ является положительным числом: $(a + b) > 0$.

2. Поскольку $a \ne b$, разность $(a - b)$ не равна нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда положителен. Следовательно, $(a - b)^2 > 0$.

Разность исходных выражений представляет собой произведение двух строго положительных множителей, $(a + b)$ и $(a - b)^2$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно.

Значит, $(a + b)(a - b)^2 > 0$.

Отсюда следует, что разность $(a^3 + b^3) - ab(a + b)$ положительна, а это означает, что уменьшаемое больше вычитаемого:

$a^3 + b^3 > ab(a + b)$

Ответ: $a^3 + b^3$ больше, чем $ab(a + b)$.

741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число $k$. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.

Пусть даны числа 0, 1, 2, 3. К каждому из них прибавили одно и то же число $k$. В результате получили новую последовательность чисел:

$0 + k, \quad 1 + k, \quad 2 + k, \quad 3 + k$

Крайними членами этой последовательности являются первый и четвертый: $(0 + k)$ и $(3 + k)$.

Средними членами этой последовательности являются второй и третий: $(1 + k)$ и $(2 + k)$.

Найдем произведение крайних членов. Обозначим его $P_{крайних}$:

$P_{крайних} = (0 + k) \cdot (3 + k) = k \cdot (3 + k) = 3k + k^2$

Теперь найдем произведение средних членов. Обозначим его $P_{средних}$:

$P_{средних} = (1 + k) \cdot (2 + k) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot k + k \cdot 2 + k \cdot k = 2 + k + 2k + k^2 = 2 + 3k + k^2$

Теперь сравним полученные произведения. Для этого найдем их разность:

$P_{средних} - P_{крайних} = (k^2 + 3k + 2) - (k^2 + 3k)$

Раскроем скобки:

$k^2 + 3k + 2 - k^2 - 3k = (k^2 - k^2) + (3k - 3k) + 2 = 2$

Разность произведений является положительным числом, равным 2. Это означает, что произведение средних членов всегда больше произведения крайних членов на 2, при любом значении $k$.

Ответ: произведение средних членов получившейся последовательности на 2 больше, чем произведение ее крайних членов.

742. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на $0,5 \text{ км/ч}$ большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на $0,5 \text{ км/ч}$ меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?

Для того чтобы определить, кто из мальчиков пришёл на станцию первым, нам необходимо сравнить время, которое каждый из них затратил на весь путь. Пусть всё расстояние от посёлка до станции равно $S$ км.

Время в пути для Коли

Коля шёл весь путь с постоянной скоростью.
Скорость Коли: $v_К = 5$ км/ч.
Время, которое Коля затратил на весь путь $S$, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_К = \frac{S}{5}$ ч.

Время в пути для Миши

Миша прошёл первую половину пути ($\frac{S}{2}$) с одной скоростью, а вторую половину ($\frac{S}{2}$) — с другой.
1. Скорость Миши на первой половине пути была на 0,5 км/ч больше скорости Коли:
$v_{М1} = 5 + 0,5 = 5,5$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути:
$t_{М1} = \frac{S/2}{v_{М1}} = \frac{S/2}{5,5} = \frac{S}{2 \cdot 5,5} = \frac{S}{11}$ ч.

2. Скорость Миши на второй половине пути была на 0,5 км/ч меньше скорости Коли:
$v_{М2} = 5 - 0,5 = 4,5$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути:
$t_{М2} = \frac{S/2}{v_{М2}} = \frac{S/2}{4,5} = \frac{S}{2 \cdot 4,5} = \frac{S}{9}$ ч.

Общее время Миши в пути равно сумме времени на двух участках:
$t_М = t_{М1} + t_{М2} = \frac{S}{11} + \frac{S}{9}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $11 \cdot 9 = 99$:
$t_М = \frac{9S}{99} + \frac{11S}{99} = \frac{9S + 11S}{99} = \frac{20S}{99}$ ч.

Сравнение времени Коли и Миши

Теперь сравним время, затраченное Колей и Мишей.
Время Коли: $t_К = \frac{S}{5}$
Время Миши: $t_М = \frac{20S}{99}$

Чтобы сравнить эти два выражения, нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{20}{99}$. Приведём их к общему знаменателю $5 \cdot 99 = 495$:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 99}{5 \cdot 99} = \frac{99}{495}$
$\frac{20}{99} = \frac{20 \cdot 5}{99 \cdot 5} = \frac{100}{495}$

Сравниваем полученные дроби:
$\frac{99}{495} < \frac{100}{495}$
Это означает, что $\frac{1}{5} < \frac{20}{99}$, и, следовательно, $t_К < t_М$.

Поскольку время Коли в пути меньше времени Миши, Коля пришёл на станцию первым.

Ответ: Коля пришёл на станцию первым.

743. Найдите значение дроби $\frac{x^2 - 6x + 3}{x + 2}$ при $x = -\frac{1}{3}$.

Чтобы найти значение дроби $\frac{x^2 - 6x + 3}{x + 2}$ при $x = -\frac{1}{3}$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение.

Сначала вычислим значение числителя $x^2 - 6x + 3$:

Подставляем $x = -\frac{1}{3}$:

$(-\frac{1}{3})^2 - 6 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{9} + \frac{6}{3} + 3 = \frac{1}{9} + 2 + 3 = \frac{1}{9} + 5$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\frac{1}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{1 + 45}{9} = \frac{46}{9}$.

Теперь вычислим значение знаменателя $x + 2$:

Подставляем $x = -\frac{1}{3}$:

$-\frac{1}{3} + 2$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$-\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} = \frac{-1 + 6}{3} = \frac{5}{3}$.

Наконец, найдем значение всей дроби, разделив значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{\frac{46}{9}}{\frac{5}{3}} = \frac{46}{9} \div \frac{5}{3}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{46}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{46 \cdot 3}{9 \cdot 5}$

Сокращаем дробь, разделив 3 и 9 на 3:

$\frac{46 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{46}{15}$.

Ответ: $\frac{46}{15}$.

744. Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 - 10x + 25}{35 - 7x} $;

б) $ \frac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2} $.

а) $\frac{x^2-10x+25}{35-7x}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2-10x+25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=5$. Проверим, соответствует ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену выражения: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Таким образом, числитель можно свернуть по формуле:

$x^2-10x+25 = (x-5)^2$

В знаменателе $35-7x$ вынесем за скобки общий множитель 7:

$35-7x = 7(5-x)$

Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{(x-5)^2}{7(5-x)}$

Заметим, что выражения в скобках $(x-5)$ и $(5-x)$ являются противоположными, так как $5-x = -(x-5)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{(x-5)^2}{7 \cdot (-(x-5))} = \frac{(x-5)(x-5)}{-7(x-5)}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x-5)$ (при условии, что $x \neq 5$):

$\frac{x-5}{-7} = -\frac{x-5}{7} = \frac{5-x}{7}$

Ответ: $\frac{5-x}{7}$

б) $\frac{4x^2-12x+9}{(3-2x)^2}$

Рассмотрим числитель $4x^2-12x+9$. Это выражение также является полным квадратом разности. Воспользуемся той же формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2 = 9$, значит $b=3$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$. Следовательно, числитель можно представить в виде:

$4x^2-12x+9 = (2x-3)^2$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(2x-3)^2}{(3-2x)^2}$

Воспользуемся свойством степени, согласно которому квадраты противоположных чисел равны: $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$.

В нашем случае это означает, что $(2x-3)^2 = (3-2x)^2$.

Поскольку числитель и знаменатель дроби равны (и не равны нулю при $x \neq \frac{3}{2}$), то их частное равно 1.

$\frac{(2x-3)^2}{(3-2x)^2} = 1$

Ответ: $1$

745. Решите уравнение:

а) $ \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2} $;

б) $ \frac{3}{2x-1} = 5x-9. $

а)

Дано уравнение:
$\frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому:
$x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$\frac{5}{x} - 2 + \frac{3}{x-2} = 0$

Теперь приведем все члены к общему знаменателю, который равен $x(x-2)$:
$\frac{5(x-2)}{x(x-2)} - \frac{2x(x-2)}{x(x-2)} + \frac{3x}{x(x-2)} = 0$

Поскольку знаменатель не может быть равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю:
$5(x-2) - 2x(x-2) + 3x = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$5x - 10 - 2x^2 + 4x + 3x = 0$
Сгруппируем подобные члены:
$-2x^2 + (5+4+3)x - 10 = 0$
$-2x^2 + 12x - 10 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на $-2$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$

Получилось приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 = 4^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4}{2}$
$x_1 = \frac{6+4}{2} = 5$
$x_2 = \frac{6-4}{2} = 1$

Оба корня, $1$ и $5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Ответ: $1; 5$.

б)

Дано уравнение:
$\frac{3}{2x-1} = 5x - 9$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$2x - 1 \neq 0 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на знаменатель $(2x-1)$:
$3 = (5x - 9)(2x - 1)$

Раскроем скобки в правой части:
$3 = 5x \cdot 2x - 5x \cdot 1 - 9 \cdot 2x + 9 \cdot 1$
$3 = 10x^2 - 5x - 18x + 9$
$3 = 10x^2 - 23x + 9$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$10x^2 - 23x + 9 - 3 = 0$
$10x^2 - 23x + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 = 529 - 240 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 17}{2 \cdot 10} = \frac{23 \pm 17}{20}$
$x_1 = \frac{23 + 17}{20} = \frac{40}{20} = 2$
$x_2 = \frac{23 - 17}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$

Оба корня, $2$ и $0.3$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \frac{1}{2}$).

Ответ: $0.3; 2$.