Номер 744, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 744, страница 165.

744. Сократите дробь:

а) $ \frac{x^2 - 10x + 25}{35 - 7x} $;

б) $ \frac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2} $.

а) $\frac{x^2-10x+25}{35-7x}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2-10x+25$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=5$. Проверим, соответствует ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену выражения: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$. Таким образом, числитель можно свернуть по формуле:

$x^2-10x+25 = (x-5)^2$

В знаменателе $35-7x$ вынесем за скобки общий множитель 7:

$35-7x = 7(5-x)$

Теперь запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{(x-5)^2}{7(5-x)}$

Заметим, что выражения в скобках $(x-5)$ и $(5-x)$ являются противоположными, так как $5-x = -(x-5)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{(x-5)^2}{7 \cdot (-(x-5))} = \frac{(x-5)(x-5)}{-7(x-5)}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x-5)$ (при условии, что $x \neq 5$):

$\frac{x-5}{-7} = -\frac{x-5}{7} = \frac{5-x}{7}$

Ответ: $\frac{5-x}{7}$

б) $\frac{4x^2-12x+9}{(3-2x)^2}$

Рассмотрим числитель $4x^2-12x+9$. Это выражение также является полным квадратом разности. Воспользуемся той же формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2 = 9$, значит $b=3$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$. Следовательно, числитель можно представить в виде:

$4x^2-12x+9 = (2x-3)^2$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(2x-3)^2}{(3-2x)^2}$

Воспользуемся свойством степени, согласно которому квадраты противоположных чисел равны: $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$.

В нашем случае это означает, что $(2x-3)^2 = (3-2x)^2$.

Поскольку числитель и знаменатель дроби равны (и не равны нулю при $x \neq \frac{3}{2}$), то их частное равно 1.

$\frac{(2x-3)^2}{(3-2x)^2} = 1$

Ответ: $1$